Bài 56 trang 98 SBT toán 8 tập 2

Giải bài 56 trang 98 sách bài tập toán 8. Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại điểm P...

Quảng cáo

Đề bài

Hai điểm \(M\) và \(K\) thứ tự nằm trên cạnh \(AB\) và \(BC\) của tam giác \(ABC\); hai đoạn thẳng \(AK\) và \(CM\) cắt nhau tại điểm \(P.\) Biết rằng \(AP = 2 PK\) và \(CP = 2PM.\)

Chứng minh rằng \(AK\) và \(CM\) là các trung tuyến của tam giác \(ABC.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

Nếu hai cạnh tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

- Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết

\(AP = 2 PK\) và \(CP = 2PM\) (gt)

\( \Rightarrow \displaystyle{{PK} \over {PA}} = {1 \over 2};{{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}\)

\( \Rightarrow\displaystyle {{PK} \over {PA}} = {{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}\)

Xét \(∆ PKM\) và \(∆ PAC\) có:

\(\displaystyle {{PK} \over {PA}} = {{PM} \over {PC}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {APC} = \widehat {KPM}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow ∆ PKM\) đồng dạng \(∆ PAC\) (c.g.c) với tỉ số đồng dạng \(k =\displaystyle {{PK} \over {PA}}= {1 \over 2}\).

\( \Rightarrow\displaystyle {{KM} \over {AC}} = {1 \over 2}\)                          (1)

Vì \(∆ PKM\) đồng dạng \(∆ PAC\) suy ra \(\widehat {PKM} = \widehat {PAC}\)

Mà \(\widehat {PKM} \) và \( \widehat {PAC}\) ở vị trí so le trong nên \( KM // AC\) (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

Trong tam giác \(ABC\) có \(KM // AC\) nên \(\widehat {BMK} = \widehat {BAC}\) (hai góc đồng vị)

Lại có góc \(B\) chung nên \( ∆ BMK\) đồng dạng \(∆ BAC\) (g.g)

\( \Rightarrow\displaystyle  {{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {{MK} \over {AC}}\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\displaystyle {{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {1 \over 2}\)

Do đó \(BM = \displaystyle {1 \over 2} BA\) nên \(M\) là trung điểm của \(AB\).

\(BK =\displaystyle  {1 \over 2} BC\) nên \(K\) là trung điểm của \(BC\).

Vậy \(AK\) và \(CM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC.\)

Loigiaihay.com

  • Bài 57 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 57 trang 98 sách bài tập toán 8. Cho hình bình hành ABCD. Từ A kẻ AM vuông góc với BC, AN vuông góc với CD (M thuộc BC và N thuộc CD).

  • Bài 58 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 58 trang 98 sách bài tập toán 8. Giả sử AC là đường chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C, vẽ đường vuông góc CE với đường thẳng AB ...

  • Bài 59 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 59 trang 98 sách bài tập toán 8. Tam giác ABC có hai đường cao là AD và BE (D thuộc BC, E thuộc AC)...

  • Bài 60 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 60 trang 98 sách bài tập toán 8. Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ một điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK ...

  • Bài 55 trang 98 SBT toán 8 tập 2

    Giải bài 55 trang 98 sách bài tập toán 8. Tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Chứng minh rằng AH.DH = BH.EH = CH.FH.

Quảng cáo
list
close
Gửi bài