Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 8

Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 8 - Đề số 2

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Hãy chọn câu sai. Hình chữ nhật có

A

Bốn góc vuông
B

Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
C

Hai đường chéo vuông góc với nhau
D

Các cạnh đối bằng nhau

Câu 2 :

Hãy chọn câu sai:

A

Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
B

Đường tròn có tâm đối xứng chính là tâm của đường tròn.
C

Hình thang có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
D

Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo.

Câu 3 :

Hình thang $ABCD$ ($AB\, // \, CD$ ) có số đo góc $D$ bằng ${70^0},$ số đo góc $A$ là:

A

${130^0}$
B

${90^0}$
C

$110^\circ $
D

${120^0}$

Câu 4 :

Trong các khai triển hằng đẳng thức sau, khai triển nào sai?

A

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
B

${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} + {B^3}$
C

${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$
D

${A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$

Câu 5 :

Rút gọn biểu thức $A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)$ ta được

A

$ - 15x + 1$
B

$1$
C

$15x + 1$
D

$ - 1$

Câu 6 :

Chọn câu đúng nhất trong các câu sau khi định nghĩa tứ giác ABCD:

A

Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA.
B

Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
C

Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó hai đoạn thẳng kề một đỉnh song song với nhau.
D

Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA và 4 góc tại đỉnh bằng nhau.

Câu 7 :

Phân tích đa thức ${x^3}{y^3} + 6{x^2}{y^2} + 12xy + 8$ thành nhân tử ta được

A

${\left( {xy + 2} \right)^3}$.
B

${\left( {xy + 8} \right)^3}$.
C

${x^3}{y^3} + 8$.
D

${\left( {{x^3}{y^3} + 2} \right)^3}$.

Câu 8 :

Chọn câu sai.

A

${x^2}{y^2} + {y^3} + a{x^2} + ay = \left( {{y^2} + a} \right)\left( {{x^2} + y} \right)$.
B

${a^3} - 4{a^2} + a - 4$$= \left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)$.
C

$m{x^2} - nx - mx + n = \left( {x - 1} \right)\left( {mx + n} \right)$.
D

${x^2} - 5y + x - 5xy = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5y} \right)$.

Câu 9 :

Cho hình bình hành $ABCD$ có $\widehat A = 3\widehat B$ . Số đo các góc của hình bình hành là:

A

$\widehat A = \widehat C = 90^\circ ;\widehat B = \widehat D = 30^\circ $
B

$\widehat A = \widehat D = 135^\circ ;\widehat B = \widehat C = 45^\circ $
C

$\widehat A = \widehat C = 45^\circ ;\widehat B = \widehat D = 135^\circ $
D

$\widehat A = \widehat C = 135^\circ ;\widehat B = \widehat D = 45^\circ $

Câu 10 :

Phép chia đa thức $2{x^4} - 3{x^3} + 3x - 2$ cho đa thức ${x^2} - 1$ được đa thức dư là:

A

$0$.
B

$1$.
C

$2$.
D

$10$.

Câu 11 :

Biết phần dư của phép chia đa thức $\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 2} \right)$ cho đa thức $\left( {{x^3} + 1} \right)$ là số tự nhiên $a$ . Chọn câu đúng.

A

$a < 2$.
B

$a > 1$.
C

$a < 0$.
D

$a \vdots 2$.

Câu 12 :

Một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $14{\rm{ }}cm$ . Độ dài một đường trung bình của tam giác đó là:

A

$34\,cm$
B

$7\,cm$
C

$6,5\,cm$
D

$21\,cm$

Câu 13 :

Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat A = {60^0};\;\widehat B = {135^0};\;\widehat D = {29^0}$ . Số đo góc $C$ bằng:

A

$137^\circ $.
B

$136^\circ $.
C

$36^\circ $.
D

$135^\circ $.

Câu 14 :

Viết biểu thức $\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)$ dưới dạng hiệu hai lập phương

A

${x^3} + {\left( {3y} \right)^3}$.
B

${x^3} + {\left( {9y} \right)^3}$.
C

${x^3} - {\left( {3y} \right)^3}$.
D

${x^3} - {\left( {9y} \right)^3}$.

Câu 15 :

Phần dư của phép chia đa thức ${x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1$ cho đa thức ${x^2} + 1$ có hệ số tự do là

A

$2$.
B

$3$.
C

$1$.
D

$4$.

Câu 16 :

Cho ${x^2} + {y^2} = 2,$ đẳng thức nào sau đây đúng?

A

$2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y - 2} \right)$
B

$2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)$
C

$2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)}}{2}$
D

$\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)$

Câu 17 :

Biểu thức ${\left( {a - b - c} \right)^2}$ bằng

A

${a^2} + {b^2} + {c^2} - 2\left( {bc + ac + ab} \right)$
B

${a^2} + {b^2} + {c^2} + bc - ac - 2ab$
C

${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc + ac - ab} \right)$
D

${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)$

Câu 18 :

Rút gọn biểu thức $M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)$ ta được giá trị của $M$ là

A

Một số lẻ
B

Một số chẵn
C

Một số chính phương
D

Một số chia hết cho $5$

Câu 19 :

Cho ${x^6} - 1 = \left( {x + A} \right)\left( {x + B} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + C} \right)$, biết $A,\,B,C$ là các số nguyên. Khi đó $A + B + C$ bằng

A

$0$.
B

$1$.
C

$2$.
D

$ - 1$.

Câu 20 :

Cho các phương trình ${\left( {x + 2} \right)^3} + {\left( {x - 3} \right)^3} = 0\,\,\left( 1 \right);$${\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4{x^2} + 4x = 0\,\,\left( 2 \right).$ Chọn câu đúng.

A

Phương trình (1) có hai nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
B

Phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm
C

Phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
D

Phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.

Câu 21 :

Tìm $x$ biết ${x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0$

A

$x = 2;\,x = - 2$.
B

$x = 0;\,x = 2$.
C

$x = 0;\,x = - 2$.
D

$\,x = - 2$.

Câu 22 :

Tìm giá trị của $a$ và $b$ để đa thức $4{x^3} + ax + b$ chia cho đa thức ${x^2} - 1$ dư $2x - 3.$

A

$a = - 6;b = - 3$.
B

$a = 6;b = - 3$.
C

$a = 2;b = - 3$.
D

$a = - 2;b = - 3$

Câu 23 :

Tính giá trị biểu thức $P = \left( { - 4{x^3}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2x{y^2} - xy\left( {2x - xy} \right)$ cho $x = 1,y = \dfrac{{ - 1}}{2}$;

A

$P = - \dfrac{{19}}{8}$
B

$P = \dfrac{{19}}{8}$
C

$P = \dfrac{8}{{19}}$
D

$P = \dfrac{9}{8}$

Câu 24 :

Chọn câu sai.

A

${x^2} + 4x - {y^2} + 4 = \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)$
B

${\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - 64{y^2} = \left( {2{x^2} - 9y} \right)\left( {2{x^2} + 7y} \right)$
C

$ - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3} = {\left( {2y - x} \right)^3}$
D

$\;{x^8} - {y^8} = {\left( {{x^4}} \right)^2} - {\left( {{y^4}} \right)^2} = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)$

Câu 25 :

Cho hình bình hành $ABCD$ . Gọi $I,{\rm{ }}K$ theo thứ tự là trung điểm của $CD,{\rm{ }}AB$ . Đường chéo $BD$ cắt $AI,{\rm{ }}CK$ theo thứ tự ở $E,{\rm{ }}F$ . Chọn khẳng định đúng.

A

$DE = FE;FE > FB$
B

$DE = FE = FB$
C

$DE > FE;\,EF = FB$
D

$DE > FE > FB$

Câu 26 :

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $AC = 6\,cm$ , điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ . Gọi $D,E$ theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB,AC$. Chu vi của tứ giác $ADME$ bằng:

A

$6\,cm\;\;\;\;$
B

$36\,cm$
C

$18\,cm\;\;\;\;$
D

$12\,cm$

Câu 27 :

Cho hình vuông $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt lấy các điểm $E,F,G,H$ sao cho $AE = BF = CG = DH$ . Tứ giác $EFGH$ là hình gì?

A

Hình chữ nhật
B

Hình thoi
C

Hình bình hành
D

Hình vuông

Câu 28 :

Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}DA.$ Hai đường chéo $AC$ và $BD$ phải thỏa mãn điều kiện gì để $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$ là bốn đỉnh của hình vuông.

A

$BD = AC$
B

$BD \bot AC$
C

$BD$ tạo với $AC$ góc $60^\circ $
D

$BD = AC;BD \bot AC$

Câu 29 :

Cho hình vuông $ABCD,{\rm{ }}E$ là một điểm trên cạnh $CD.$ Tia phân giác của góc $BAE$ cắt $BC$ tại $M.$ Chọn câu đúng.

A

$AM = ME$
B

$AM < ME$
C

$AM \le 2ME$
D

$AM > 2ME$

Câu 30 :

Xác định hệ số $a,b,c$ biết rằng với mọi giá trị của $x$ thì $\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c$

A

$a = 9,b = - 4,c = 6.$
B

$a = 9,b = 6,c = - 4.$
C

$a = 9,b = 6,c = 4.$
D

$a = - 9,b = - 6,c = - 4.$

Câu 31 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y$

A

$A=3$
B

$A=-17$
C

$A=-3$
D

$A=17$

Câu 32 :

Phần dư của phép chia đa thức ${\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1$ cho đa thức $x + 1$ là

A

$3$
B

$2$
C

$0$
D

$1$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Hãy chọn câu sai. Hình chữ nhật có

A

Bốn góc vuông
B

Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
C

Hai đường chéo vuông góc với nhau
D

Các cạnh đối bằng nhau

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định nghĩa và tính chất hình chữ nhật:

+ Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

+ Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình hành, của hình thang cân.

- Hai cạnh đối song song, hai cạnh đối bằng nhau, hai góc đối bằng nhau

- Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lời giải chi tiết :

Từ định nghĩa và tính chất hình chữ nhật ta có A, B, D đúng và C sai.

Câu 2 :

Hãy chọn câu sai:

A

Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
B

Đường tròn có tâm đối xứng chính là tâm của đường tròn.
C

Hình thang có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
D

Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo.

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

+ Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó nên A đúng.

+ Đường tròn là hình có tâm đối xứng là tâm của đường tròn nên B đúng.

+ Giao điểm hai đường chéo của hình vuông là tâm đối xứng của hình vuông đó nên D đúng.

+ Hình thang không có tâm đối xứng nên C sai.

Câu 3 :

Hình thang $ABCD$ ($AB\, // \, CD$ ) có số đo góc $D$ bằng ${70^0},$ số đo góc $A$ là:

A

${130^0}$
B

${90^0}$
C

$110^\circ $
D

${120^0}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Ta sử dụng tính chất của hình thang: Ta thấy góc $A$ và $D$ là hai góc trong cùng phía nên $\widehat A + \widehat D = {180^0}$ từ đó ta suy ra số đo góc $A.$

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\widehat A + \widehat D = {180^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \widehat D\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - {70^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {110^0}\end{array}$

Câu 4 :

Trong các khai triển hằng đẳng thức sau, khai triển nào sai?

A

${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
B

${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} + {B^3}$
C

${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$
D

${A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

${\left( {A - B} \right)^3} $$= {\left( {A + \left( { - B} \right)} \right)^3} $$= {A^3} + 3.{A^2}.\left( { - B} \right) + 3.A.{\left( { - B} \right)^2} + {\left( { - B} \right)^3}$$ = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}$

$ \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} $$= {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} + {B^3}$ là sai.

Câu 5 :

Rút gọn biểu thức $A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)$ ta được

A

$ - 15x + 1$
B

$1$
C

$15x + 1$
D

$ - 1$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức bình phương của một hiệu ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)$$ = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + 1 - \left( {9x.x + 9x} \right) = 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x $

$= - 15x + 1$

Câu 6 :

Chọn câu đúng nhất trong các câu sau khi định nghĩa tứ giác ABCD:

A

Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA.
B

Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
C

Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó hai đoạn thẳng kề một đỉnh song song với nhau.
D

Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA và 4 góc tại đỉnh bằng nhau.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta sử dụng định nghĩa tứ giác ABCD: Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên cùng một đường thẳng.

Lời giải chi tiết :

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên cùng một đường thẳng.

Câu 7 :

Phân tích đa thức ${x^3}{y^3} + 6{x^2}{y^2} + 12xy + 8$ thành nhân tử ta được

A

${\left( {xy + 2} \right)^3}$.
B

${\left( {xy + 8} \right)^3}$.
C

${x^3}{y^3} + 8$.
D

${\left( {{x^3}{y^3} + 2} \right)^3}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức

${\left( {A + B} \right)^3} $$= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$ để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${x^3}{y^3} + 6{x^2}{y^2} + 12xy + 8$$ = {\left( {xy} \right)^3} + 3{\left( {xy} \right)^2}.2 + 3.xy{.2^2} + {2^3} = {\left( {xy + 2} \right)^3}$

Câu 8 :

Chọn câu sai.

A

${x^2}{y^2} + {y^3} + a{x^2} + ay = \left( {{y^2} + a} \right)\left( {{x^2} + y} \right)$.
B

${a^3} - 4{a^2} + a - 4$$= \left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)$.
C

$m{x^2} - nx - mx + n = \left( {x - 1} \right)\left( {mx + n} \right)$.
D

${x^2} - 5y + x - 5xy = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5y} \right)$.

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Ta có ${x^2}{y^2} + {y^3} + a{x^2} + ay $$= \left( {{x^2}{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {a{x^2} + ay} \right) $$= {y^2}\left( {{x^2} + y} \right) + a\left( {{x^2} + y} \right)$$ = \left( {{y^2} + a} \right)\left( {{x^2} + y} \right)$ nên A đúng.

*) ${a^3} - 4{a^2} + a - 4$$ = \left( {{a^3} - 4{a^2}} \right) + \left( {a - 4} \right) $$= {a^2}\left( {a - 4} \right) + \left( {a - 4} \right) $$= \left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)$ nên B đúng.

*) $m{x^2} - nx - mx + n$$ = \left( {m{x^2} - nx} \right) - \left( {mx - n} \right)$$ = x\left( {mx - n} \right) - \left( {mx - n} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {mx - n} \right)$ nên C sai.

*) ${x^2} - 5y + x - 5xy $$= \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {5y + 5xy} \right) $$= x\left( {x + 1} \right) - 5y\left( {x + 1} \right) $$= \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5y} \right)$ nên D đúng.

Câu 9 :

Cho hình bình hành $ABCD$ có $\widehat A = 3\widehat B$ . Số đo các góc của hình bình hành là:

A

$\widehat A = \widehat C = 90^\circ ;\widehat B = \widehat D = 30^\circ $
B

$\widehat A = \widehat D = 135^\circ ;\widehat B = \widehat C = 45^\circ $
C

$\widehat A = \widehat C = 45^\circ ;\widehat B = \widehat D = 135^\circ $
D

$\widehat A = \widehat C = 135^\circ ;\widehat B = \widehat D = 45^\circ $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hình bình hành và định lí tổng các góc trong một tứ giác

Lời giải chi tiết :

Trong hình bình hành $ABCD$ có: $\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D$ (tính chất), $\widehat A = 3\widehat B$

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \Rightarrow 2\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360^\circ \Rightarrow \widehat A + \widehat B = 180^\circ $

$ \Rightarrow 3\widehat B + \widehat B = 180^\circ \Rightarrow \widehat B = 45^\circ $

$ \Rightarrow \widehat A = 3\widehat B = 3.45^\circ = 135^\circ $

Vậy $\widehat A = \widehat C = 135^\circ ;\widehat B = \widehat D = 45^\circ $.

Câu 10 :

Phép chia đa thức $2{x^4} - 3{x^3} + 3x - 2$ cho đa thức ${x^2} - 1$ được đa thức dư là:

A

$0$.
B

$1$.
C

$2$.
D

$10$.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Vậy đa thức dư là $R = 0$ .

Câu 11 :

Biết phần dư của phép chia đa thức $\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 2} \right)$ cho đa thức $\left( {{x^3} + 1} \right)$ là số tự nhiên $a$ . Chọn câu đúng.

A

$a < 2$.
B

$a > 1$.
C

$a < 0$.
D

$a \vdots 2$.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Phần dư của phép chia là $a = 1 < 2$

Câu 12 :

Một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $14{\rm{ }}cm$ . Độ dài một đường trung bình của tam giác đó là:

A

$34\,cm$
B

$7\,cm$
C

$6,5\,cm$
D

$21\,cm$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất: đường trung bình của tam giác bằng một nửa cạnh đáy.

Lời giải chi tiết :

Độ dài một đường trung bình của tam giác là: $14:2 = 7\,cm.$

Câu 13 :

Cho tứ giác $ABCD$ có $\widehat A = {60^0};\;\widehat B = {135^0};\;\widehat D = {29^0}$ . Số đo góc $C$ bằng:

A

$137^\circ $.
B

$136^\circ $.
C

$36^\circ $.
D

$135^\circ $.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta sử dụng định lý về tổng các góc trong tứ giác.

Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng $360^\circ $ .

Lời giải chi tiết :

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ $(định lý)

hay $60^\circ + 135^\circ + \widehat C + 29^\circ = 360^\circ \Rightarrow \widehat C = 360^\circ - 60^\circ - 135^\circ - 29^\circ $ $ \Leftrightarrow \widehat C = 136^\circ $ .

Câu 14 :

Viết biểu thức $\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)$ dưới dạng hiệu hai lập phương

A

${x^3} + {\left( {3y} \right)^3}$.
B

${x^3} + {\left( {9y} \right)^3}$.
C

${x^3} - {\left( {3y} \right)^3}$.
D

${x^3} - {\left( {9y} \right)^3}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức hiệu hai lập phương $\left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right) = {A^3} - {B^3}$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right) = \left( {x - 3y} \right)\left( {x + x.3y + {{\left( {3y} \right)}^2}} \right) $$= {x^3} - {\left( {3y} \right)^3}$

Câu 15 :

Phần dư của phép chia đa thức ${x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1$ cho đa thức ${x^2} + 1$ có hệ số tự do là

A

$2$.
B

$3$.
C

$1$.
D

$4$.

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Đa thức dư là $ - x + 1$ có hệ số tự do là $1$ .

Câu 16 :

Cho ${x^2} + {y^2} = 2,$ đẳng thức nào sau đây đúng?

A

$2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y - 2} \right)$
B

$2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)$
C

$2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)}}{2}$
D

$\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức và dữ kiện đề bài để biến đổi $2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)$

Sử dụng $AB + AC = A\left( {B + C} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có $2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 2\left( {xy + x + y + 1} \right)$ $ = 2xy + 2x + 2y + 2$

Thay ${x^2} + {y^2} = 2$ ta được

$2xy + 2x + 2y + {x^2} + {y^2}$ $ = \left( {{x^2} + xy + 2x} \right) + \left( {{y^2} + xy + 2y} \right)$ $ = x\left( {x + y + 2} \right) + y\left( {x + y + 2} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)$

Từ đó ta có $2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)$

Câu 17 :

Biểu thức ${\left( {a - b - c} \right)^2}$ bằng

A

${a^2} + {b^2} + {c^2} - 2\left( {bc + ac + ab} \right)$
B

${a^2} + {b^2} + {c^2} + bc - ac - 2ab$
C

${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc + ac - ab} \right)$
D

${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hẳng đẳng thức ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {a - b - c} \right)^2}$$ = {\left[ {\left( {a - b} \right) - c} \right]^2} = {\left( {a - b} \right)^2} - 2\left( {a - b} \right).c + {c^2}$

$ = {a^2} - 2ab + {b^2} - 2ac + 2bc + {c^2}$ $ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)$ .

Câu 18 :

Rút gọn biểu thức $M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)$ ta được giá trị của $M$ là

A

Một số lẻ
B

Một số chẵn
C

Một số chính phương
D

Một số chia hết cho $5$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức $\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}$ để phân tích và rút gọn $M$

Lời giải chi tiết :

Ta có $M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)$$ = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - 8{x^3} + 12$

$ = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - 8{x^3} + 12 = 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 12 = 39$.

Vậy giá trị của $M$ là một số lẻ.

Câu 19 :

Cho ${x^6} - 1 = \left( {x + A} \right)\left( {x + B} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + C} \right)$, biết $A,\,B,C$ là các số nguyên. Khi đó $A + B + C$ bằng

A

$0$.
B

$1$.
C

$2$.
D

$ - 1$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sau đó sử dụng hằng đẳng thức ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right);\,{A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$ để biến đổi.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${x^6} - 1 = {\left( {{x^2}} \right)^3} - 1 $$= \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)$$ = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)$

$ \Rightarrow A = - 1;B = C = 1$

Suy ra $A + B + C = - 1 + 1 + 1 = 1$ .

Câu 20 :

A

Phương trình (1) có hai nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
B

Phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm
C

Phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
D

Phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với phương trình (1): Sử dụng ${A^3} = - {\left( { - A} \right)^3};\,{A^3} = {B^3} \Leftrightarrow A = B$

Với phương trình (2):

+ Sử dụng hằng đẳng thức ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Từ đó đưa về dạng ${A^2} = 0 \Leftrightarrow A = 0$

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình (1) ta có ${\left( {x + 2} \right)^3} + {\left( {x - 3} \right)^3} = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^3} - {\left( {3 - x} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^3} = {\left( {3 - x} \right)^3}$

$ \Leftrightarrow x + 2 = 3 - x \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$

Xét phương trình (2) ta có ${\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4{x^2} + 4x = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4{x^2} + 4x - 4 + 4 = 0$

$ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4\left( {{x^2} + x - 1} \right) + 4 = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x - 1 + 2} \right)^2} = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = 0$

$ \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 0$$ \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} = 0$

Vì ${\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\forall x$ nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.

Câu 21 :

Tìm $x$ biết ${x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0$

A

$x = 2;\,x = - 2$.
B

$x = 0;\,x = 2$.
C

$x = 0;\,x = - 2$.
D

$\,x = - 2$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phân tích vế trái thành nhân tử để đưa về dạng $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0$$ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.$

Vậy $x = 0;\,x = - 2$ .

Câu 22 :

Tìm giá trị của $a$ và $b$ để đa thức $4{x^3} + ax + b$ chia cho đa thức ${x^2} - 1$ dư $2x - 3.$

A

$a = - 6;b = - 3$.
B

$a = 6;b = - 3$.
C

$a = 2;b = - 3$.
D

$a = - 2;b = - 3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

+ Đồng nhất hệ số của đa thức dư tìm được và đa thức dư theo giả thiết ta tìm được $a,b$

Lời giải chi tiết :

Ta có

Phần dư của phép chia trên là $R = \left( {a + 4} \right)x + b$ . Theo bài ra ta có $\left( {a + 4} \right)x + b = 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 4 = 2\\b = - 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 3\end{array} \right.$

Vậy có hai giá trị của $a$ thỏa mãn điều kiện đề bài $a = - 2;b = - 3$ .

Câu 23 :

Tính giá trị biểu thức $P = \left( { - 4{x^3}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2x{y^2} - xy\left( {2x - xy} \right)$ cho $x = 1,y = \dfrac{{ - 1}}{2}$;

A

$P = - \dfrac{{19}}{8}$
B

$P = \dfrac{{19}}{8}$
C

$P = \dfrac{8}{{19}}$
D

$P = \dfrac{9}{8}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Rút gọn biểu thức đã cho, sau đó thay giá trị của biến vào biểu thức rút gọn để tìm ra giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,P = \left( { - 4{x^3}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2x{y^2} - xy\left( {2x - xy} \right)\\ \Leftrightarrow P = \left( { - 4{x^3}{y^3}} \right):2x{y^2} + {x^3}{y^4}:2x{y^2} - xy.2x + xy.xy\\ \Leftrightarrow P = - 2{x^2}y + \dfrac{1}{2}{x^2}{y^2} - 2{x^2}y + {x^2}{y^2}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{3}{2}{x^2}{y^2} - 4{x^2}y\\ \Leftrightarrow P = {x^2}y\left( {\dfrac{3}{2}y - 4} \right)\end{array}$

Tại $x = 1,y = \dfrac{{ - 1}}{2}$, ta có: $P = {1^2}.\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{3}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) - 4} \right) = \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{{ - 3}}{4} - 4} \right) = \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{{ - 19}}{4}} \right) = \dfrac{{19}}{8}$

Câu 24 :

Chọn câu sai.

A

${x^2} + 4x - {y^2} + 4 = \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)$
B

${\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - 64{y^2} = \left( {2{x^2} - 9y} \right)\left( {2{x^2} + 7y} \right)$
C

$ - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3} = {\left( {2y - x} \right)^3}$
D

$\;{x^8} - {y^8} = {\left( {{x^4}} \right)^2} - {\left( {{y^4}} \right)^2} = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, thêm bớt hạng tử .. và phối hợp nhiều phương pháp để phân tích.

Lời giải chi tiết :

$ + )\;{x^2} + 4x - {y^2} + 4 = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - {y^2} = \left( {{x^2} + 2.2.x + {2^2}} \right) - {y^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} - {y^2} = \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)$

$ + )\;{\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - 64{y^2} = {\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - {\left( {8y} \right)^2} = \left( {2{x^2} - y - 8y} \right)\left( {2{x^2} - y + 8y} \right) = \left( {2{x^2} - 9y} \right)\left( {2{x^2} + 7y} \right)$

$ + )\; - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3} = {\left( { - x} \right)^3} + 3.{x^2}.2y + 3.\left( { - x} \right).{\left( {2y} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^3} = {\left( { - x + 2y} \right)^3} = {\left( {2y - x} \right)^3}$

$ + )\;{x^8} - {y^8} = {\left( {{x^4}} \right)^2} - {\left( {{y^4}} \right)^2} = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^4} - {y^4}} \right)$

$ = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)$

Nên A, B, C đúng. D sai.

Câu 25 :

A

$DE = FE;FE > FB$
B

$DE = FE = FB$
C

$DE > FE;\,EF = FB$
D

$DE > FE > FB$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Chứng minh tứ giác $AKCI$ là hình bình hành để suy ra $AI{\rm{//}}CK$ .Bước 2: Sau đó sử dụng định lí đường trung bình của các tam giác $\Delta DCF,\Delta ABE$ để suy ra mối quan hệ giữa $DE;\,EF;\,FB$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $AK = \dfrac{{AB}}{2},IC = \dfrac{{CD}}{2}$ (gt) mà $AB = CD$ (cạnh đối hình bình hành) nên $AK = IC$ .

Vì $AB{\rm{//}}CD(gt),K \in AB,I \in DC \Rightarrow AK{\rm{//}}IC$ .

Tứ giác $AKCI$ có $AK{\rm{//}}CI,AK = IC(cmt)$ nên là hình bình hành. Suy ra $AI{\rm{//}}CK$ .

Mà $E \in AI,F \in CK \Rightarrow EI{\rm{//}}CF,KF{\rm{//}}AE$ .

Xét $\Delta DCF$ có: $DI = IC(gt),IE{\rm{//}}CF(cmt) \Rightarrow ED = FE\,\,\,(1)$

Xét $\Delta ABE$ có: $AK = KB(gt),KF{\rm{//}}AE(cmt) \Rightarrow EF = FB\,\,\,\,(2)$.

Từ (1) và (2) suy ra $ED = FE = FB$.

Câu 26 :

A

$6\,cm\;\;\;\;$
B

$36\,cm$
C

$18\,cm\;\;\;\;$
D

$12\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Trước hết ta chứng minh $ADME$ là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có $3$ góc vuông là hình chữ nhật.

Bước 2: Chứng minh tam giác$BDM$ vuông cân tại $D$ để suy ra$BD = DM$ .

Bước 3: Tính chu vi $ADME$ thông độ dài cạnh tam giác vuông cân.

Lời giải chi tiết :

+ Xét tứ giác $ADME$ có $\widehat A = \widehat E = \widehat D = {90^ \circ }$ nên $ADME$ là hình chữ nhật.

+ Xét tam giác $DMB$ có $\widehat B = {45^ \circ }$(do tam giác $ABC$ vuông cân) nên tam giác $BDM$ vuông cân tại$D$ . Do đó$DM = BD$ .

+ Do $ADME$ là hình chữ nhật nên chu vi$ADME$ là:

$\left( {AD + DM} \right).2 = \left( {AD + BD} \right).2 = 6.2 = 12\left( {cm} \right)$

Vậy chu vi $ADME$ là $12\,cm$ .

Câu 27 :

Cho hình vuông $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt lấy các điểm $E,F,G,H$ sao cho $AE = BF = CG = DH$ . Tứ giác $EFGH$ là hình gì?

A

Hình chữ nhật
B

Hình thoi
C

Hình bình hành
D

Hình vuông

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Ta chứng minh $DG = CF = EB = AH$. Từ đó suy ra $\Delta AHE = \Delta DGH = \Delta CFG = \Delta EBF$ nên $HG = GF = HE = EF$ . Do đó tứ giác $EFGH$ là hình thoi.

Bước 2: Chứng minh góc $\widehat {HEF} = 90^\circ $ để suy ra $EFGH$ là hình vuông.

Lời giải chi tiết :

+ Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA$ (tính chất).

Mà $AE = BF = CG = DH\,\left( {gt} \right)$ nên $AB - AE = BC - BF = CD - CG = DA - DH$ hay $DG = CF = EB = AH$.

Từ đó suy ra $\Delta AHE = \Delta DGH = \Delta CFG = \Delta EBF$ (c-g-c) nên $HG = GF = HE = EF$.

Vì $HG = GF = HE = EF$ nên tứ giác $EFGH$ là hình thoi.

+ Vì $\Delta AHE = \Delta BEF\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {BEF}$ (hai góc tương ứng) mà $\widehat {AHE} + \widehat {HEA} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BEF} + \widehat {HEA} = 90^\circ $

Từ đó $\widehat {HEF} = 180^\circ - \left( {\widehat {HEA} + \widehat {BEF}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ $ .

Hình thoi $EFGH$ có $\widehat {HEF} = 90^\circ $ nên $EFGH$ là hình vuông.

Câu 28 :

A

$BD = AC$
B

$BD \bot AC$
C

$BD$ tạo với $AC$ góc $60^\circ $
D

$BD = AC;BD \bot AC$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình vuông để tìm ra điều kiện của hai đường chéo $AC$ và $BD$ tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABD$ có:

$M$ là trung điểm của $AB$ (gt)

$Q$ là trung điểm của $AD$ (gt)

$ \Rightarrow $ $QM$ là đường trung bình của tam giác $ABD.$ (định lý)

Do đó $QM//BD$ và $QM = \dfrac{1}{2}BD$ (1)

Tương tự ta cũng có $NP$ là đường trung bình của tam giác $BCD.$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}NP//BD\\NP = \dfrac{1}{2}BD\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ (1) và (2) ta suy ra $MNPQ$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Tương tự ta cũng có $MN$ là đường trung bình của tam giác $BAC$ nên $MN//AC$ và $MN = \dfrac{1}{2}AC$

Để hình bình hành $MNPQ$ là hình vuông $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot NP\\MN = NP\end{array} \right.$

+ Để $MN \bot NP \Leftrightarrow AC \bot BD$ (vì $MN//AC,{\rm{ }}NP//BD$ )

+ Để $MN = NP \Leftrightarrow AC = BD$ (vì $MN = \dfrac{1}{2}AC,NP = \dfrac{1}{2}BD$ )

Vậy điều kiện cần tìm để $MNPQ$ là hình vuông là $BD = AC;BD \bot AC.$ .

Câu 29 :

Cho hình vuông $ABCD,{\rm{ }}E$ là một điểm trên cạnh $CD.$ Tia phân giác của góc $BAE$ cắt $BC$ tại $M.$ Chọn câu đúng.

A

$AM = ME$
B

$AM < ME$
C

$AM \le 2ME$
D

$AM > 2ME$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Vẽ $EF \bot AM(F \in AB)$

Chứng minh $EF = AM.$

Chứng minh tam giác $AEF$ cân đỉnh$A.$

Chỉ ra $ME = MF.$

Xét ba điểm $M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ ta có: $EF \le ME + MF$ để suy ra hệ thức đúng.

Lời giải chi tiết :

Vẽ $EF \bot AM(F \in AB),EG \bot AB(G \in AB)$.

Tứ giác $AGED$ là hình chữ nhật( vì $\widehat G = \widehat A = \widehat D = {90^0}$ ), suy ra $GE = AD.$

Lại thấy $\widehat {FEG} = \widehat {MAB}$ (vì cùng phụ với $\widehat {AFE}$ )

Xét $\Delta GEF$ và $\Delta BAM$có: $\widehat {EGF} = \widehat {ABM} = {90^0}$; $GE = AB{\rm{ }}\left( { = CD} \right);$$\widehat {FEG} = \widehat {MAB}$

Do đó $\Delta GEF = \Delta BAM$(g.c.g) suy ra $EF = AM.$

Tam giác $AEF$ có $AM$ là đường phân giác và là đường cao nên tam giác $AEF$ cân đỉnh $A.$

Ta có $AM$ là đường trung trực của $EF,$ nên $ME = MF.$

Xét ba điểm $M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ ta có: $EF \le ME + MF \Leftrightarrow EF \le 2ME$. Do đó $AM \le 2ME$.

Câu 30 :

Xác định hệ số $a,b,c$ biết rằng với mọi giá trị của $x$ thì $\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c$

A

$a = 9,b = - 4,c = 6.$
B

$a = 9,b = 6,c = - 4.$
C

$a = 9,b = 6,c = 4.$
D

$a = - 9,b = - 6,c = - 4.$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức

Bước 2: Cho các hệ số của các lũy thừa tương ứng ở hai vế bằng nhau ta tìm được các hệ số $a,b,c.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $VT = \left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right)$$ = ax.{x^2} + ax.bx + ax.\left( { - 1} \right) + 4.{x^2} + 4.bx + 4.\left( { - 1} \right)$

$ = a{x^3} + ab{x^2} - ax + 4{x^2} + 4bx - 4$

$ = a{x^3} + \left( {ab{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( {4bx - ax} \right) - 4$

$ = a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4$

Theo bài ra ta có $\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c$ đúng với mọi $x$

$ \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4 = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c$ đúng với mọi $x.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\ab + 4 = 58\\4b - a = 15\\ - 4 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\9.b = 54\\4b - 9 = 15\\c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 6\\c = - 4\end{array} \right.$

Vậy $a = 9,b = 6,c = - 4.$

Câu 31 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y$

A

$A=3$
B

$A=-17$
C

$A=-3$
D

$A=17$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng $C = a^2 + b^2 + c.$

- Khi đó, $A \ge c$ với mọi $x.$

- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của $A.$

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\\ \Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17\\ \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17\\ \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17.\end{array}$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.$ với mọi $x;y$ nên $A \ge - 17$ với mọi $x;y.$

$ \Rightarrow A = - 17 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.$

Vậy $A$ đạt giá trị nhỏ nhất là $A = - 17$ tại $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.$.

Câu 32 :

Phần dư của phép chia đa thức ${\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1$ cho đa thức $x + 1$ là

A

$3$
B

$2$
C

$0$
D

$1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng $P\left( x \right) = Q\left( x \right).\left( {x + 1} \right) + R$

Thay $x = - 1$ vào biểu thức trên ta nhận được phần dư $r.$

Lời giải chi tiết :

Ta có đa thức chia $\left( {x + 1} \right)$ nên phần dư là một hằng số

Gọi thương là $Q\left( x \right)$ và dư $r$. Khi đó với mọi $x$ ta có ${\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1 = Q\left( x \right)\left( {x + 1} \right) + r$ (1)

Thay $x = - 1$ vào (1) ta được ${\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 3.\left( { - 1} \right) + 2} \right)^5} + {\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 4\left( { - 1} \right) - 4} \right)^5} - 1 = Q\left( x \right).\left( { - 1 + 1} \right) + r$

$r = {0^5} + {1^5} - 1 \Leftrightarrow r = 0$

Vậy phần dư của phép chia là $r = 0.$

Bài liên quan