Đề kiểm tra 45 phút chương 5: Tứ giác - Đề số 1Đề bài
Câu 1 :
Hãy chọn câu sai. Hình chữ nhật có
Câu 2 :
Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ. Tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu: 
Câu 3 :
Hãy chọn câu sai.
Câu 4 :
Hãy chọn câu trả lời sai. Cho hình vẽ, ta có: 
Câu 5 :
Hãy chọn câu sai
Câu 6 :
Cho hình bình hành $ABCD$ có \(\widehat A = 3\widehat B\) . Số đo các góc của hình bình hành là:
Câu 7 :
Cho \(\Delta ABC\) đều, cạnh \(2cm\); \(M,N\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Chu vi của tứ giác \(MNCB\) bằng
Câu 8 :
Cho tứ giác $ABCD$ có \(BC = CD\) và $DB$ là tia phân giác của góc \(D\). Chọn khẳng định đúng
Câu 9 :
Cho tam giác \(ABC\), trong đó \(AB = 15cm,\,BC = 12cm\). Vẽ hình đối xứng với tam giác \(ABC\) qua trung điểm của cạnh \(AC\). Chu vi của tứ giác tạo thành là:
Câu 10 :
Cho hình thang$ABCD$ . Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của$AB,BC,CD,DA$ . Hình thang $ABCD$ có thêm điều kiện gì thì $MNPQ$ là hình thoi. Hãy chọn câu đúng
Câu 11 :
Cho hình thang cân $ABCD$ đáy nhỏ $AB = 4cm$ , đáy lớn $CD = 10cm$ , cạnh bên $BC = 5cm$ thì đường cao $AH$ bằng:
Câu 12 :
Cho tam giác $ABC$ , điểm $D$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AD = \dfrac{1}{2}DC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC,I$ là giao điểm của $BD$ và $AM$. So sánh \(AI\) và \(IM\) .
Câu 13 :
Cho tứ giác $ABCD$ . Gọi$E$ , $F$ lần lượt là giao điểm của $AB$ và $CD$ , $AD$ và $BC;$ $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AE$ , $EC$ , $CF$ ,$FA$ . Khi đó \(MNPQ\) là hình gì? Chọn đáp án đúng nhất.
Câu 14 :
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng $6\,cm$ , $8\,cm$ là:
Câu 15 :
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $AC = 6\,cm$ , điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ . Gọi $D,E$ theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB,AC$. Chu vi của tứ giác $ADME$ bằng:
Câu 16 :
Cho tam giác $ABC$ . Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = CE$ . Gọi $M,N,P,Q$ thứ tự là trung điểm của $BE,CD,DE$ và $BC$ . Chọn câu đúng nhất.
Câu 17 :
Cho hình vuông $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt lấy các điểm $E,F,G,H$ sao cho $AE = BF = CG = DH$ . Tứ giác \(EFGH\) là hình gì?
Câu 18 :
Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $E,F,G,H$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$ . Tìm điều kiện của tứ giác $ABCD$ để hình bình hành $EFGH$ là hình vuông.
Câu 19 :
Cho hình bình hành $ABCD$ có \(\widehat A = \alpha > 90^\circ \) . Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam giác đều $ADE,ABF$. Tam giác \(CEF\) là tam giác gì? Chọn câu trả lời đúng nhất
Câu 20 :
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có \(AB = a;\,AD = b\) . Cho $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ là các đỉnh của tứ giác $MNPQ$ và lần lượt thuộc các cạnh $AB$ , $BC$ ,$CD,DA$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác $MNPQ$ .
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Hãy chọn câu sai. Hình chữ nhật có
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng định nghĩa và tính chất hình chữ nhật: + Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. + Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình hành, của hình thang cân. - Hai cạnh đối song song, hai cạnh đối bằng nhau, hai góc đối bằng nhau - Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Lời giải chi tiết :
Từ định nghĩa và tính chất hình chữ nhật ta có A, B, D đúng và C sai.
Câu 2 :
Hãy chọn câu đúng. Cho hình vẽ. Tứ giác là hình vuông theo dấu hiệu:
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
 Từ hình vẽ ta thấy hai đường chéo của tứ giác vuông góc và giao nhau tại trung điểm mỗi đường nên nó là hình thoi. Hình thoi này có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình vuông.
Câu 3 :
Hãy chọn câu sai.
Đáp án : B Lời giải chi tiết :
+ Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. + Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. + Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.. + Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi. Nên A, C, D đúng, B sai.
Câu 4 :
Hãy chọn câu trả lời sai. Cho hình vẽ, ta có:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất hình bình hành. Lời giải chi tiết :
 Từ hình vẽ ta có \(O\) là trung điểm của \(BD\) và \(AC\). Do đó tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, suy ra tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành\( \Rightarrow \) A đúng. Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB{\rm{//}}DC;\,AD{\rm{//}}BC\) (tính chất) \( \Rightarrow \) B, D đúng. Chưa đủ điều kiện để \(ABCE\) là hình thang cân.
Câu 5 :
Hãy chọn câu sai
Đáp án : B Phương pháp giải :
Ta sử dụng định lý đường trung bình và hình thang Lời giải chi tiết :
+ Độ dài đường trung bình hình thang bằng nửa tổng hai đáy nên đáp án B sai.
Câu 6 :
Cho hình bình hành $ABCD$ có \(\widehat A = 3\widehat B\) . Số đo các góc của hình bình hành là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất hình bình hành và định lí tổng các góc trong một tứ giác Lời giải chi tiết :
Trong hình bình hành $ABCD$ có: \(\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D\) (tính chất), \(\widehat A = 3\widehat B\) Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \Rightarrow 2\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360^\circ \Rightarrow \widehat A + \widehat B = 180^\circ \) \( \Rightarrow 3\widehat B + \widehat B = 180^\circ \Rightarrow \widehat B = 45^\circ \) \( \Rightarrow \widehat A = 3\widehat B = 3.45^\circ = 135^\circ \) Vậy \(\widehat A = \widehat C = 135^\circ ;\widehat B = \widehat D = 45^\circ \).
Câu 7 :
Cho \(\Delta ABC\) đều, cạnh \(2cm\); \(M,N\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\). Chu vi của tứ giác \(MNCB\) bằng
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Ta sử dụng định lý đường trung bình của hình thang để tính độ dài cạnh \(MN\) . Bước 2: Chu vi tứ giác \(MNCB\) là \(P = MN + BC + MB + NC\) . Lời giải chi tiết :
 + \(M,N\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\)nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) \( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.2 = 1\,cm\) . + \(MB = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\,cm;\,NC = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\,cm\) + Chu vi tứ giác \(MNCB\) là \(P = MN + BC + MB + NC\)\( = 1 + 1 + 1 + 2 = 5\,cm\) .
Câu 8 :
Cho tứ giác $ABCD$ có \(BC = CD\) và $DB$ là tia phân giác của góc \(D\). Chọn khẳng định đúng
Đáp án : A Phương pháp giải :
Chứng minh $AD{\rm{//}}BC$ suy ra \(ABCD\) là hình thang. Lời giải chi tiết :
 Xét \(\Delta BCD\) có \(BC = CD(gt)\) nên \(\Delta BCD\) là tam giác cân. Suy ra \(\widehat {CBD} = \widehat {CDB}\) Vì $DB$ là tia phân giác góc $D$ của tứ giác $ABCD$ nên \(\widehat {ADB} = \widehat {CDB}\) Do đó \(\widehat {CBD} = \widehat {ADB}\) Mà hai góc \(\widehat {CBD}\) và \(\widehat {ADB}\) là hai góc ở vị trí so le trong nên suy ra \(BC//AD\) . Tứ giác $ABCD$ có $AD//BC$ (cmt) nên là hình thang.
Câu 9 :
Cho tam giác \(ABC\), trong đó \(AB = 15cm,\,BC = 12cm\). Vẽ hình đối xứng với tam giác \(ABC\) qua trung điểm của cạnh \(AC\). Chu vi của tứ giác tạo thành là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng chú ý: “Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.” để tìm các cặp cạnh bằng nhau từ đó suy ra chu vi tứ giác. Lời giải chi tiết :
 Lấy \(M\) là trung điểm \(AC\) khi đó \(A,\,C\) đối xứng nhau qua \(M\) . Vẽ \(B'\) đối xứng với \(B\) qua \(O\) . Khi đó tam giác \(B'AC\) đối xứng với tam giác $ABC$ qua \(M\) . Tứ giác tạo thành là \(ABCB'\) . Vì tam giác \(B'AC\) đối xứng với tam giác $BCA$ qua \(M\) nên \(AB' = BC = 15\,cm;\,B'C= AB = 12\,cm\) Chu vi tứ giác \(ABCB'\) là $AB + AC + CB' + AB' $$= 12 + 15 + 12 + 15 = 54\,cm$ .
Câu 10 :
Cho hình thang$ABCD$ . Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của$AB,BC,CD,DA$ . Hình thang $ABCD$ có thêm điều kiện gì thì $MNPQ$ là hình thoi. Hãy chọn câu đúng
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành dựa vào tính chất đường trung bình để suy ra cặp cạnh song song và bằng nhau. Bước 2: Để hình bình hành \(MNPQ\) là hình thoi ta cần có \(MN = MQ\) từ đó suy ra hai đường chéo của hình thang bằng nhau. Lời giải chi tiết :
 + Xét tam giác \(ABC\) có \(MN\) là đường trung bình nên \(MN{\rm{//}}AC;\,MN = \dfrac{1}{2}AC\) (1) Tương tự ta có \(PQ\) là đường trung bình tam giác \(ADC\) nên \(PQ{\rm{//}}AC;\,PQ = \dfrac{1}{2}AC\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(MN{\rm{//}}PQ;\,MN = PQ \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành. Để hình bình hành \(MNPQ\) là hình thoi ta cần có \(MN = MQ\). Mà \(MN = \dfrac{1}{2}AC\,\left( {cmt} \right);\,MQ = \dfrac{1}{2}BD\) (do \(MQ\) là đường trung bình tam giác \(ABD\) ) Suy ra \(AC = BD\) . Vậy để hình bình hành \(MNPQ\) là hình thoi thì \(AC = BD\).
Câu 11 :
Cho hình thang cân $ABCD$ đáy nhỏ $AB = 4cm$ , đáy lớn $CD = 10cm$ , cạnh bên $BC = 5cm$ thì đường cao $AH$ bằng:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Ta sử dụng tính chất hình thang cân và định lý Pytago. Lời giải chi tiết :
 Kẻ $ BK \bot DC$ tại $K.$ Vì $ABCD$ là hình thang cân nên ta có \(\widehat D = \widehat C;AD = BC \Rightarrow \Delta AHD = \Delta BKC\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow DH = CK\) Suy ra \(DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right)\) Suy ra \(DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {10 - 4} \right) = 3\,\,cm\) Do $ABCD$ là hình thang cân nên $AD = BC = 5cm$ Áp dụng định lý Py– ta – go vào tam giác $ADH$ vuông tại $H$ ta có $A{D^2} = A{H^2} + D{H^2}$ $ \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - D{H^2} = {5^2} - {3^2} \Rightarrow AH = 4$ Vậy $AH = 4cm$ .
Câu 12 :
Cho tam giác $ABC$ , điểm $D$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $AD = \dfrac{1}{2}DC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC,I$ là giao điểm của $BD$ và $AM$. So sánh \(AI\) và \(IM\) .
Đáp án : A Phương pháp giải :
Sử dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh các đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác. Từ đó dùng các định lý của đường trung bình để suy ra điều cần chứng minh. Lời giải chi tiết :
 Gọi $E$ là trung điểm của $DC$ . Xét tam giác $BDC$ có: $BM = MC,DE = EC$ nên $ME$ là đường trung bình của tam giác$BDC$ . Suy ra $BD//ME$ hay $DI//EM$ . Xét tam giác $AME$ có $AD = DE,DI//EM$ nên $AI\; = IM$.
Câu 13 :
Cho tứ giác $ABCD$ . Gọi$E$ , $F$ lần lượt là giao điểm của $AB$ và $CD$ , $AD$ và $BC;$ $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AE$ , $EC$ , $CF$ ,$FA$ . Khi đó \(MNPQ\) là hình gì? Chọn đáp án đúng nhất.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chứng minh các cạnh song song và bằng nhau. Bước 2: Sử dụng dấu hiệu nhận biết để suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành. Lời giải chi tiết :
 Nối \(AC\) .Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của$AE$ , $EC$ nên \(MN\) là đườn gtrung bình của tam giác \(EAC\) suy ra \(MN{\rm{//}}AC;\,MN = \dfrac{1}{2}AC\) $\left( 1 \right)$ . Tương tự \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(FAC\) suy ra \(PQ{\rm{//}}AC;\,PQ = \dfrac{1}{2}AC\) \(\left( 2 \right)\) . Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right)\) suy ra \(PQ{\rm{//}}NM;\,PQ = MN\) nên \(MNPQ\) là hình bình hành (dhnb).
Câu 14 :
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng $6\,cm$ , $8\,cm$ là:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Áp dụng định lý Pytago để tính độ dài cạnh huyền. Bước 2: Sử dụng tính chất trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền để tính độ dài đường trung tuyến. Lời giải chi tiết :
 Áp dụng định lý Pytago cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có: $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}$ hay $B{C^2} = {6^2} + {8^2}$\( \Rightarrow \)$B{C^2} = 100$ . Suy ra $BC = 10\,\left( {cm} \right)$ Do $AH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AH = BC:2 = 10:2 = 5\left( {cm} \right)$
Câu 15 :
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $AC = 6\,cm$ , điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ . Gọi $D,E$ theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB,AC$. Chu vi của tứ giác $ADME$ bằng:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Trước hết ta chứng minh $ADME$ là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có $3$ góc vuông là hình chữ nhật. Bước 2: Chứng minh tam giác$BDM$ vuông cân tại $D$ để suy ra$BD = DM$ . Bước 3: Tính chu vi $ADME$ thông độ dài cạnh tam giác vuông cân. Lời giải chi tiết :
 + Xét tứ giác $ADME$ có \(\widehat A = \widehat E = \widehat D = {90^ \circ }\) nên $ADME$ là hình chữ nhật. + Xét tam giác $DMB$ có \(\widehat B = {45^ \circ }\)(do tam giác $ABC$ vuông cân) nên tam giác $BDM$ vuông cân tại$D$ . Do đó$DM = BD$ . + Do $ADME$ là hình chữ nhật nên chu vi$ADME$ là: $\left( {AD + DM} \right).2 = \left( {AD + BD} \right).2 = 6.2 = 12\left( {cm} \right)$ Vậy chu vi $ADME$ là $12\,cm$ .
Câu 16 :
Cho tam giác $ABC$ . Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = CE$ . Gọi $M,N,P,Q$ thứ tự là trung điểm của $BE,CD,DE$ và $BC$ . Chọn câu đúng nhất.
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Để chứng minh \(MN \bot PQ\) trước hết ta chứng minh $MNPQ$ là hình thoi dựa vào dấu hiệu tứ giác có bốn canh bằng nhau là hình thoi. + Ta nhận xét thấy $MN,PQ$ là hai đường chéo của hình thoi nên \(MN \bot PQ\). Lời giải chi tiết :
 Từ giả thiết ta có $MP,NP,NQ,QM$ lần lượt là các đường trung bình của các tam giác $BDE,ECD,DCB,BEC$ . (định nghĩa đường trung bình). Đặt $BD = CE = 2a$ . Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được: \(MP = \dfrac{1}{2}BD = a;NQ = \dfrac{1}{2}DB = a;\)\(NP = \dfrac{1}{2}CE = a;MQ = \dfrac{1}{2}CE = a.\) Suy ra $MN = NP = PQ = QM$ . Tứ giác $MNPQ$ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi. Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi $MNPQ$ ta được: \(MN \bot PQ\).
Câu 17 :
Cho hình vuông $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt lấy các điểm $E,F,G,H$ sao cho $AE = BF = CG = DH$ . Tứ giác \(EFGH\) là hình gì?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Ta chứng minh \(DG = CF = EB = AH\). Từ đó suy ra \(\Delta AHE = \Delta DGH = \Delta CFG = \Delta EBF\) nên \(HG = GF = HE = EF\) . Do đó tứ giác \(EFGH\) là hình thoi. Bước 2: Chứng minh góc \(\widehat {HEF} = 90^\circ \) để suy ra \(EFGH\) là hình vuông. Lời giải chi tiết :
 + Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA\) (tính chất). Mà $AE = BF = CG = DH\,\left( {gt} \right)$ nên \(AB - AE = BC - BF = CD - CG = DA - DH\) hay \(DG = CF = EB = AH\). Từ đó suy ra \(\Delta AHE = \Delta DGH = \Delta CFG = \Delta EBF\) (c-g-c) nên \(HG = GF = HE = EF\). Vì \(HG = GF = HE = EF\) nên tứ giác \(EFGH\) là hình thoi. + Vì \(\Delta AHE = \Delta BEF\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {BEF}\) (hai góc tương ứng) mà \(\widehat {AHE} + \widehat {HEA} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BEF} + \widehat {HEA} = 90^\circ \) Từ đó \(\widehat {HEF} = 180^\circ - \left( {\widehat {HEA} + \widehat {BEF}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) . Hình thoi \(EFGH\) có \(\widehat {HEF} = 90^\circ \) nên \(EFGH\) là hình vuông.
Câu 18 :
Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $E,F,G,H$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$ . Tìm điều kiện của tứ giác $ABCD$ để hình bình hành $EFGH$ là hình vuông.
Đáp án : A Phương pháp giải :
Dựa vào hai dấu hiệu nhận biết: + Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật + Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông Lời giải chi tiết :
 Ta có \(EH;\,EF\) lần lượt là đường trung bình của tam giác \(ABD;\,BAC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}EH//BD;\,\,\,EF//AC\\EH = \dfrac{1}{2}BD;\,\,EF = \dfrac{1}{2}AC\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right)\) Hình bình hành EFGH là hình vuông khi và chỉ khi\(\left\{ \begin{array}{l}EH \bot EF\\EH = EF\end{array} \right.\,\left( 2 \right)\) Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\DB = AC\end{array} \right.\) thì hình bình hành $EFGH$ là hình vuông.
Câu 19 :
Cho hình bình hành $ABCD$ có \(\widehat A = \alpha > 90^\circ \) . Ở phía ngoài hình bình hành vẽ các tam giác đều $ADE,ABF$. Tam giác \(CEF\) là tam giác gì? Chọn câu trả lời đúng nhất
Đáp án : C Phương pháp giải :
Chứng minh các tam giác bằng nhau để có các cạnh bằng nhau từ đó suy ra tam giác \(CEF\) là tam đều. Lời giải chi tiết :
 Ta có: \(\widehat {EAF} = 360^\circ - \widehat {BAF} - \widehat {EAD} - \alpha \) \( = 360^\circ - 60^\circ - 60^\circ - \alpha = 240^\circ - \alpha \) Ta có:\(\widehat {ADC} = 180^\circ - \alpha \) ; \(\widehat {CDE} = \widehat {ADC} + \widehat {EDA} = 180^\circ - \alpha + 60^\circ = 240^\circ - \alpha \)\( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {FAE}\) Xét \(\Delta CDE\) và \(\Delta FAE\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD = FA(gt)\\\widehat {CDF} = \widehat {EAF}(cmt)\\DE = EA(gt)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \Delta CDE = \Delta FAE\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow CE = FE\,\,(1)\) Tương tự , ta có: \(\widehat {ABC} = 180^\circ - \alpha \) ; \(\widehat {CBF} = \widehat {ABC} + \widehat {FBA} = 180^\circ - \alpha + 60^\circ = 240^\circ - \alpha \Rightarrow \widehat {CBF} = \widehat {FAE}\) Xét \(\Delta FBC\) và \(\Delta FAE\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}FB = FA(gt)\\\widehat {CBF} = \widehat {EAF}(cmt)\\CB = EA(gt)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \Delta FBC = \Delta FAE\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow CF = FE\,\,(2)\) Từ (1) và (2) suy ra \(CF = FE = EC\) nên tam giác $CEF$ đều.
Câu 20 :
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có \(AB = a;\,AD = b\) . Cho $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ là các đỉnh của tứ giác $MNPQ$ và lần lượt thuộc các cạnh $AB$ , $BC$ ,$CD,DA$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác $MNPQ$ .
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Gọi thêm các điểm $I,H,K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $QM,QN,PN$ . Bước 2: Ta tính chu vi tứ giác $MNPQ$ : \( AI = \dfrac{1}{2}QM, \)\(IH= \dfrac{1}{2}MN,\)\(HK = \dfrac{1}{2}PQ,\)\(KC= \dfrac{1}{2}NP\)\( \Rightarrow AI + IH + HK + KC \)\(= \dfrac{1}{2}(QM + MN + PQ + NP) \)\(= \dfrac{1}{2}{P_{MNPQ}}\) Mà \(AI + IH + HK + KC \ge AC\), từ đó suy ra lời giải bài toán. Bước 3: Dùng định lý Pytago tính \(AC\) theo $a,\,b$ rồi kết luận. Lời giải chi tiết :
 Gọi $I,H,K$ lần lượt là trung điểm các đoạn $QM,QN,PN$ . Xét tam giác $AQM$ vuông tại $A$ có $AI$ là đường trung tuyến nên suy ra \(AI = \dfrac{1}{2}QM\). $IH$ là đường trung bình của tam giác $QMN$ nên \(IH = \dfrac{1}{2}MN\), $IH$ //$MN$ . Tương tự \(KC = \dfrac{1}{2}NP,HK = \dfrac{1}{2}PQ\), $HK$ //$PQ$ . Do đó $AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} = \dfrac{1}{2}{P_{MNPQ}}$ Mặt khác nếu xét các điểm $A,I,H,K,C$ ta có: $AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} \ge AC$ Do đó \({P_{MNPQ}} \ge 2AC\) (không đổi) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $A,I,H,K,C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với $MN$ //$AC$ //$QP$ , $QM$ //$BD$ //$NP$ hay $MNPQ$ là hình bình hành. Theo định lý Pytago cho tam giác \(ACB\) vuông tại \(A\) ta có \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = A{B^2} + A{D^2}\) \( = {a^2} + {b^2} \Rightarrow AC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) . Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi $MNPQ$ là $2AC$ \( = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) . |
