Đề kiểm tra 45 phút chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Đề số 2Đề bài
Câu 1 :
Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $m(2x + 1) < 8$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
Câu 2 :
Phương trình \(\left| {5x - 4} \right| = \left| {x + 2} \right|\) có nghiệm là
Câu 3 :
Cho các bất phương trình sau, đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn
Câu 4 :
Nghiệm của bất phương trình $7(3x + 5) > 0$ là:
Câu 5 :
Hãy chọn câu đúng, \(x = - 3\) là một nghiệm của bất phương trình:
Câu 6 :
Giá trị $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?
Câu 7 :
Tập nghiệm của bất phương trình $3x + 7 > x + 9$ là
Câu 8 :
Cho \(a > b > 0.\) So sánh \({a^2}\) và \(ab\); \({a^3}\) và \({b^3}\) .
Câu 9 :
Phương trình \(2.\left| {3 - 4x} \right| + 6 = 10\) có nghiệm là
Câu 10 :
Cho \( - 2x + 3 < - 2y + 3\). So sánh $x$ và $y$ . Đáp án nào sau đây là đúng?
Câu 11 :
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(x \ge 8\) trên trục số, ta được
Câu 12 :
Số nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| + 3x = 7\) là
Câu 13 :
Hãy chọn câu đúng. Tập nghiệm của bất phương trình \(1 - 3x \ge 2 - x\) là:
Câu 14 :
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
Câu 15 :
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 16 :
Với điều kiện nào của \(x\) thì biểu thức \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}}\) nhận giá trị âm.
Câu 17 :
Bất phương trình $2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4$ có nghiệm là
Câu 18 :
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left| {3x - 1} \right| = x + 4\) là
Câu 19 :
Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\) là
Câu 20 :
Cho hai phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\,\left( 2 \right)\). Kết luận nào sau đây là đúng.
Câu 21 :
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình ${(x - 2)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0$ là
Câu 22 :
Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0\) là
Câu 23 :
Bất phương trình $2(x - 1) - x > 3(x - 1) - 2x - 5$ có nghiệm là:
Câu 24 :
Cho số thực \(x\) , chọn câu đúng nhất.
Câu 25 :
Giải phương trình \({\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(y - x\) bằng
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $m(2x + 1) < 8$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn. Bất phương trình dạng \(ax + b > 0\) (hoặc \(ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0\)) trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho, \(a \ne 0\), gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Lời giải chi tiết :
Ta có: $m(2x + 1) < 8 \Leftrightarrow 2mx + m < 8 \Leftrightarrow 2mx + m - 8 < 0$. Vậy để bất phương trình \(m\left( {2x + 1} \right) < 8\) là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn thì \(2mx + m - 8 < 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn thì \(a \ne 0\) hay \(2m \ne 0\) $\Leftrightarrow m \ne 0$
Câu 2 :
Phương trình \(\left| {5x - 4} \right| = \left| {x + 2} \right|\) có nghiệm là
Đáp án : D Phương pháp giải :
Vận dụng tính chất: \(\left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = - b\end{array} \right..\) Ta có: \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) = - B\left( x \right)\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết :
$\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {5x - 4} \right| = \left| {x + 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x - 4 = x + 2\\5x - 4 = - x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 6\\6x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{4} = 1,5\\x = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right..\end{array}$
Câu 3 :
Cho các bất phương trình sau, đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn
Đáp án : A Phương pháp giải :
Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn. Bất phương trình dạng \(ax + b > 0\) (hoặc \(ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0\)) trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho, \(a \ne 0\), gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Lời giải chi tiết :
Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ta có: Đáp án A là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Đáp án B không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn vì $a = 0.$ Đáp án C không phải bất phương trình bậc vì có \({x^2}.\) Đáp án D không phải bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.
Câu 4 :
Nghiệm của bất phương trình $7(3x + 5) > 0$ là:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Giải bất phương trình tìm nghiệm phù hợp bằng cách dùng qui tắc nhân và qui tắc chuyển vế Lời giải chi tiết :
Vì \(7 > 0\) nên \(7\left( {3x + 5} \right) \ge 3 \Leftrightarrow 3x + 5 > 0 \Leftrightarrow 3x > - 5 \Leftrightarrow x > - \dfrac{5}{3}.\)
Câu 5 :
Hãy chọn câu đúng, \(x = - 3\) là một nghiệm của bất phương trình:
Đáp án : D Phương pháp giải :
Thay \(x = - 3\) vào mỗi bất phương trình. Nếu ta thu được một bất đẳng thức đúng thì \(x = - 3\) là nghiệm và ngược lại. Lời giải chi tiết :
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(2x + 1 > 5\) ta được \(2.\left( { - 3} \right) + 1 > 5\) hay \( - 5 > 5\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(2x + 1 > 5\). + Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(7 - 2x < 10 - x\) ta được \(7 - 2.\left( { - 3} \right) < 10 - \left( { - 3} \right) \) hay \( 13 < 13\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(7 - 2x < 10 - x\). + Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(2 + x < 2 + 2x\) ta được \(2 + \left( { - 3} \right) < 2 + 2.\left( { - 3} \right)\) hay \( - 1 < - 4\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(2 + x < 2 + 2x\). + Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \( - 3x > 4x + 3\) ta được \( - 3.\left( { - 3} \right) > 4.\left( { - 3} \right) + 3 \) hay \( 9 > - 9\) (luôn đúng) nên \(x = - 3\) là nghiệm của bất phương trình \( - 3x > 4x + 3\).
Câu 6 :
Giá trị $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Có 2 cách làm: Cách 1: Giải từng bất phương trình tìm nghiệm rồi xem $x = 2$ có thỏa mãn không? Cách 2: Thay \(x = 2\) vào bất phương trình rồi so sánh hai vế của từng bất phương trình và kết luận Trong bài này các em nên sử dụng cách thứ 2 để cho nhanh gọn hơn đỡ tốn thời gian làm bài. Lời giải chi tiết :
(Trong bài này chúng ta làm theo cách thứ 2) thay \(x = 2\) vào từng bất phương trình: Đáp án A: \(7 - 2 < 2.2 \Leftrightarrow 5 < 4\) vô lý. Loại đáp án A. Đáp án B: \(2.2 + 3 > 9 \Leftrightarrow 7 > 9\) vô lý. Loại đáp án B. Đáp án C: \( - 4.2 \ge 2 + 5 \Leftrightarrow - 8 \ge 7\) vô lý. Loại đáp án C. Đáp án D: \(5 - 2 > 6.2 - 12 \Leftrightarrow 3 > 0\) luôn đúng. Chọn đáp án D.
Câu 7 :
Tập nghiệm của bất phương trình $3x + 7 > x + 9$ là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Áp dụng quy tắc chuyển vế để tìm nghiệm và biểu diễn trên trục số Lời giải chi tiết :
\(3x + 7 > x + 9 \Leftrightarrow 3x - x > 9 - 7 \Leftrightarrow 2x > 2 \Leftrightarrow x >1\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left\{ {x|x > 1} \right\}$
Câu 8 :
Cho \(a > b > 0.\) So sánh \({a^2}\) và \(ab\); \({a^3}\) và \({b^3}\) .
Đáp án : B Phương pháp giải :
+) Nhân với cùng một số dương thì bất đẳng thức không đổi chiều. +) Cộng cả 2 vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều. +) Áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh. Lời giải chi tiết :
* Với \(a > b > 0\) ta có: +) \(a.a > a.b\) hay \({a^2} > ab\;\;\) +) Ta có: \({a^2} > ab \) suy ra \( {a^2}.a > a.ab \) hay \( {a^3} > {a^2}b\) Mà \(a > b > 0 \) suy ra \( ab > b.b \) hay \( ab > {b^2}\) Suy ra \(ab.a > {b^2}.b\) nên \( {a^2}b > {b^3}.\) Suy ra \({a^2}b > {b^3} \) Do đó \({a^3} > {a^2}b > {b^3}\) hay \( {a^3} > {b^3}\) Vậy \({a^2} > ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
Câu 9 :
Phương trình \(2.\left| {3 - 4x} \right| + 6 = 10\) có nghiệm là
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng công thức: \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\) + Sau đó giải phương trình thu được. Lời giải chi tiết :
TH1: \(\left| {3 - 4x} \right| = 3 - 4x\) khi \(3 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow 4x \le 3 \Leftrightarrow x \le \dfrac{3}{4}\) Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {3 - 4x} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {3 - 4x} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 3 - 4x = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\left( {TM} \right)\) TH2: \(\left| {3 - 4x} \right| = - \left( {3 - 4x} \right)\) khi \(3 - 4x < 0 \)\(\Leftrightarrow 4x > 3\)\( \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{4}\) Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {4x - 3} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {4x - 3} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 4x - 3 = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\,\left( {TM} \right)\) Phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\) .
Câu 10 :
Cho \( - 2x + 3 < - 2y + 3\). So sánh $x$ và $y$ . Đáp án nào sau đây là đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
+) Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng. +) Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân. Lời giải chi tiết :
Theo đề bài ta có: \( - 2x + 3 < - 2y + 3\) \(\begin{array}{l} - 2x + 3 - 3 < - 2y + 3 - 3\\ - 2x < - 2y\\ - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)x > - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)y\\ x > y.\end{array}\)
Câu 11 :
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(x \ge 8\) trên trục số, ta được
Đáp án : C Phương pháp giải :
Biểu diễn tập nghiệm trên trục số Lời giải chi tiết :
Ta biểu diễn \(x \ge 8\) trên trục số như sau:
Câu 12 :
Số nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| + 3x = 7\) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\) + Giải các phương trình bậc nhất một ẩn + So sánh với điều kiện và kết luận. Lời giải chi tiết :
TH1: \(\left| {x - 3} \right| = x - 3\) khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\) Phương trình đã cho trở thành \(x - 3 + 3x = 7\)\( \Leftrightarrow 4x = 10 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {KTM} \right)\) TH2: \(\left| {x - 3} \right| = - \left( {x - 3} \right)\) khi \(x - 3 < 0 \)\(\Leftrightarrow x < 3\) Phương trình đã cho trở thành \( - \left( {x - 3} \right) + 3x = 7 \)\(\Leftrightarrow 2x = 4 \)\(\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\) Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 2\).
Câu 13 :
Hãy chọn câu đúng. Tập nghiệm của bất phương trình \(1 - 3x \ge 2 - x\) là:
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
\(1 - 3x \ge 2 - x\) \(\Leftrightarrow 1 - 3x + x - 2 \ge 0 \)\(\Leftrightarrow - 2x - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2x \ge 1 \)\(\Leftrightarrow x \le - \dfrac{1}{2}\) Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left\{ x \in R|{x \le - \dfrac{1}{2}} \right\}\) .
Câu 14 :
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ Phân tích vế trái thành nhân tử và đánh giá theo điều kiện của \(a,\,b\). Lời giải chi tiết :
Ta có ${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b = {a^2}(a - b) - {b^2}(a - b)$ $ = {(a - b)^2}(a + b) \ge 0$ ( vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\,\) với mọi \(a,b\) và \(a + b > 0\) với \(a > 0,b > 0\)).
Câu 15 :
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án : B Phương pháp giải :
+) Phương pháp xét hiệu \(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\) +) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu \(P\) với \(0\). Lời giải chi tiết :
\(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]\) \( = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) (vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0;\)\({\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) ) Nên \(P \ge 0\) khi và chỉ khi \( {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ac\) .
Câu 16 :
Với điều kiện nào của \(x\) thì biểu thức \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}}\) nhận giá trị âm.
Đáp án : B Phương pháp giải :
+ \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}}\) âm \( \Leftrightarrow A < 0\). Giải bất phương trình tìm $x$ . + Bất phương trình có dạng: \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\g\left( x \right) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết :
Ta có: \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}} < 0\) \( \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 > 0\\3 - x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x < 3\end{array} \right.\,\,\end{array} \right. \\\left[ \begin{array}{l} Vậy với \(\left[ \begin{array}{l}
Câu 17 :
Bất phương trình $2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4$ có nghiệm là
Đáp án : D Phương pháp giải :
- Khai triển các hằng đẳng thức - Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình. Lời giải chi tiết :
$\begin{array}{l}\;2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4\\ 2{x^2} + 8x + 8 < 2{x^2} + 4x + 4\\ 4x < - 4\\ x < - 1\end{array}$ Vậy \(x < - 1\) .
Câu 18 :
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left| {3x - 1} \right| = x + 4\) là
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\) + Giải các phương trình bậc nhất một ẩn + So sánh với điều kiện và kết luận. Lời giải chi tiết :
TH1: \(\left| {3x - 1} \right| = 3x - 1\) khi \(3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}\) Phương trình đã cho trở thành \(3x - 1 = x + 4 \)\(\Leftrightarrow 2x = 5\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\left( {TM} \right)\) TH2: \(\left| {3x - 1} \right| = 1 - 3x\) khi \(3x - 1 < 0 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3}\) Phương trình đã cho trở thành \(1 - 3x = x + 4 \)\(\Leftrightarrow 4x = - 3 \)\(\Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{4}\,\left( {TM} \right)\) Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 3}}{4};\dfrac{5}{2}} \right\}\) Tổng các nghiệm của phương trình là \( - \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{4}\) .
Câu 19 :
Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Vận dụng tính chất: \(\left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = - b\end{array} \right..\) Ta có: \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) = - B\left( x \right)\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 3x = 4x - 3\\2 + 3x = 3 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\7x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \dfrac{1}{7}\end{array} \right.\) Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là \(x = \dfrac{1}{7}\) .
Câu 20 :
Cho hai phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\,\left( 2 \right)\). Kết luận nào sau đây là đúng.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Để giải phương trình \(\left( 1 \right)\) ta thực hiện các bước sau: + Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\) + Giải các phương trình bậc nhất một ẩn + So sánh với điều kiện và kết luận. Để giải phương trình \(\left( 2 \right)\), ta chuyển vế biến đổi phương trình về dạng \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) = - B\left( x \right)\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
* Xét phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\) TH1: \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1\) khi \(x \ge \dfrac{1}{2}\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {2x - 1} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {2x - 1} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \)\(\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\) TH2: \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x\) khi \(x < \dfrac{1}{2}\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {1 - 2x} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {1 - 2x} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 1 - 2x = 3 \)\( \Leftrightarrow x = - 1\left( {TM} \right)\) Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(x = - 1;\,x = 2\). Xét phương trình \(\;\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {7x + 1} \right| = \left| {5x + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 5x + 6\\7x + 1 = - (5x + 6)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 5\\12x = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x = - \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right.\) Vậy phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm là \(x = \dfrac{5}{2};x = - \dfrac{7}{{12}}.\)
Câu 21 :
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình ${(x - 2)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0$ là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Phân tích hằng đẳng thức, biến đổi vế trái Áp dụng quy tắc chuyển vế, nhân với một số âm hoặc dương. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}{(x - 2)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 12x + 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow x \le \dfrac{{ 7}}{{12}}\end{array}\) Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le \dfrac{7}{{12}}.\) Nên số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \(x = 0.\)
Câu 22 :
Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Giải bất phương trình dạng \(\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} > 0\) TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) > 0\\B\left( x \right) > 0\end{array} \right.\) TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) < 0\\B\left( x \right) < 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
Xét \(\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0.\) Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 < 0\\x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 < x < 3.\) Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < - 4\end{array} \right. \Rightarrow \) Bất phương trình vô nghiệm. Vậy \( - 4 < x < 3.\)
Câu 23 :
Bất phương trình $2(x - 1) - x > 3(x - 1) - 2x - 5$ có nghiệm là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Quy tắc chuyển vế. Lời giải chi tiết :
Ta có: $\begin{array}{l}\;\;\;\;\;2(x - 1) - x > 3(x - 1) - 2x - 5\\ \Leftrightarrow 2x - 2 - x > 3x - 3 - 2x - 5\\ \Leftrightarrow x - 2 > x - 8\\ \Leftrightarrow - 2 > - 8\end{array}$
Câu 24 :
Cho số thực \(x\) , chọn câu đúng nhất.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Biến đổi tương đương các bất đẳng thức, sử dụng các hằng đẳng thức để chứng minh. Lời giải chi tiết :
+) Đáp án A: Bất đẳng thức tương đương với \({x^4} - 4x + 3 \ge 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} + x - 3} \right) \ge 0 \\\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\left( {{x^3} - 1} \right) + \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 + x + 2} \right) \ge 0 \\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right] \ge 0\end{array}\) (luôn đúng với mọi số thực $x$) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = 1.$ Nên A đúng. +) Đáp án B: Bất đẳng thức tương đương với \({x^4} - {x^2} - 4x + 5 > 0\) \( \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 + {x^2} - 4x + 4 > 0 \)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} > 0\) Ta có: \(\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0,\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0 \)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right) + {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = 2\end{array} \right. \) điều này không xảy ra. \( \Rightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} > 0\) nên B đúng.
Câu 25 :
Giải phương trình \({\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(y - x\) bằng
Đáp án : D Phương pháp giải :
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức. * Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0. * Cách giải chung: \(\left| A \right| + \left| B \right| = 0\) Bước1: Đánh giá: \(\left. \begin{array}{l}\left| A \right| \ge 0\\\left| B \right| \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow \left| A \right| + \left| B \right| \ge 0\) Bước 2: Khẳng định: \(\left| A \right| + \left| B \right| = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết :
\({\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0\) Ta có: \(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left| {x - 3y} \right| \ge 0\\\left| {y + 4} \right| \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} \ge 0\\ \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 0\\y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3.( - 4) = 0\\y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 12\\y = - 4\end{array} \right.\end{array}\) Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 12$ và $y = - 4.$ Suy ra \(y - x = - 4 - \left( { - 12} \right) = 8.\) |