Đề kiểm tra 45 phút chương 2: Phân thức đại số - Đề số 2Đề bài
Câu 1 :
Kết quả rút gọn của phân thức \(\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}\) là
Câu 2 :
Chọn câu sai.
Câu 3 :
Cho $\dfrac{2}{{x + 2}} = \dfrac{{...}}{{2{x^2} + 4x}};\dfrac{1}{{2x}} = \dfrac{{...}}{{2{x^2} + 4x}}$. Điền vào chỗ trống để được các phân thức có cùng mẫu. Hãy chọn câu đúng.
Câu 4 :
Phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
Câu 5 :
Phép tính \(\dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{{x^2} - 9}}\) có kết quả là
Câu 6 :
Kết quả gọn nhất của tích \(\dfrac{{10{x^3}}}{{11{y^2}}}.\dfrac{{121{y^5}}}{{25x}}\) là
Câu 7 :
Tính giá trị biểu thức \(C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}\) khi \(x = 4;y = 1;z = - 2\) .
Câu 8 :
Biết \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right) = \dfrac{{...}}{{x + 1}}\) . Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống
Cho \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\) . Câu 9
Rút gọn \(C\) ta được
Câu 10
Tính giá trị biểu thức \(C\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {2x + 1} \right| = 5\) .
Câu 11 :
Đa thức thích hợp để điền vào chỗ trống trong đẳng thức \(\dfrac{{{x^3} - 8}}{{......}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{3x}}\) là:
Câu 12 :
Thực hiện phép tính sau: $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$
Câu 13 :
Điền vào chỗ trống: $\dfrac{{2x - 6}}{{x + 3}} - .... = \dfrac{{x + 1}}{2}$.
Câu 14 :
Rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(2x + 1)}}$ ta được
Câu 15 :
Tìm biểu thức Q, biết: \(\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\,\, \cdot \,\,Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}\)
Câu 16 :
Thực hiện phép tính \(\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}\) ta được kết quả là
Câu 17 :
Cho $x;y;z \ne 0$ thỏa mãn $x + y + z = 0$. Chọn câu đúng về biểu thức $A = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}$.
Câu 18 :
Chọn câu đúng.
Câu 19 :
Cho \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 2017\). Tính giá trị biểu thức sau \(Q = \dfrac{{2017a}}{{ab + 2017a + 2017}} + \dfrac{b}{{bc + b + 2017}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}.\)
Câu 20 :
Thực hiện phép tính sau \(\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)\), ta được kết quả là:
Câu 21 :
Biết \(\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{...}}{{...}}\). Đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là:;
Câu 22 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} +7}}\).
Câu 23 :
Rút gọn phân thức \(A = \dfrac{{3\left| {x - 2} \right| - 5\left| {x - 6} \right|}}{{4{x^2} - 36{\rm{x}} + 81}}\) với 2 < x < 6 ta được:
Câu 24 :
Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}},\dfrac{7}{{3\left( {x + 3} \right)}}\).
Câu 25 :
Các phân thức \(\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}\) có mẫu chung là:
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Kết quả rút gọn của phân thức \(\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}\) là
Đáp án : A Phương pháp giải :
- Xác định nhân tử chung. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}} = \dfrac{{6{x^2}y.\left( {x + 3y} \right).{y^2}}}{{6{x^2}y\left( {x + 3y} \right).3\left( {x + 3y} \right)}} = \dfrac{{{y^2}}}{{3\left( {x + 3y} \right)}}\). Chú ý
Một số em có thể rút gọn hệ số sai như \(18 = 6.2\) dẫn đến sai đáp án.
Câu 2 :
Chọn câu sai.
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử. - Xác định nhân tử chung. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. Lời giải chi tiết :
Ta có $\dfrac{{2xy - {x^2}}}{{2{y^2} - xy}} = \dfrac{{x\left( {2y - x} \right)}}{{y\left( {2y - x} \right)}} = \dfrac{x}{y}$ nên A đúng. +) $\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 7x + 12}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 3x + 4x + 12}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$ nên B đúng. +) $\dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 27} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2} + 3x + 9}}$ nên C sai. +) $\dfrac{{25x{y^2}}}{{40{x^3}{y^2}}} = \dfrac{{5x{y^2}.5}}{{5x{y^2}.8{x^2}}} = \dfrac{5}{{8{x^2}}}$ nên D đúng. Chú ý
Một số em có thể sai hằng đẳng thức \({x^3} - 27 = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\) dẫn đến chọn C đúng.
Câu 3 :
Cho $\dfrac{2}{{x + 2}} = \dfrac{{...}}{{2{x^2} + 4x}};\dfrac{1}{{2x}} = \dfrac{{...}}{{2{x^2} + 4x}}$. Điền vào chỗ trống để được các phân thức có cùng mẫu. Hãy chọn câu đúng.
Đáp án : A Phương pháp giải :
* Tìm mẫu chung + Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử + Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. * Tìm nhân tử phụ mỗi phân thức: Lấy mẫu chung chia cho từng mẫu (đã phân tích thành nhân tử). * Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng. Lời giải chi tiết :
Ta có mẫu thức chung của hai phân thức là \(2x\left( {x + 2} \right) = 2{x^2} + 4x\) Do đó nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\dfrac{2}{{x + 2}}\) với \(2x\) ta được \(\dfrac{2}{{x + 2}} = \dfrac{{2x.2}}{{2x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{4x}}{{2{x^2} + 4x}}\) Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\dfrac{1}{{2x}}\) với \(\left( {x + 2} \right)\) ta được \(\dfrac{1}{{2x}} = \dfrac{{1.\left( {x + 2} \right)}}{{2x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{2{x^2} + 4x}}\) . Vậy các đa thức cần điền lần lượt là $4x;x + 2$ . Chú ý
Một số em có thể sai do tính toán, chẳng hạn \(\dfrac{2}{{x + 2}} = \dfrac{{2x.2}}{{2x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{4{x^2}}}{{2{x^2} + 4x}}\).
Câu 4 :
Phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) nên A sai. *) \(\dfrac{{2x}}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{{2x - 2}}{{x + 1}} = \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}\) nên B sai. *) \(\dfrac{x}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\) nên C sai. *) \(\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{ - x - 1}} = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{ - \left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) nên D đúng. Chú ý
Một số em sai do thực hiện phép đổi dấu ở đáp án D sai nên chọn sai.
Câu 5 :
Phép tính \(\dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{{x^2} - 9}}\) có kết quả là
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ ) Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên. Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể). Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{{x^2} - 9}}\)\( = \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \dfrac{{ 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) $ = \dfrac{{2x - 6 - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{2x - 9}}{{{x^2} - 9}}$ Chú ý
Một số em sai do khi quy đồng không nhân cả tử và mẫu với nhân tử phụ (mà chỉ nhân mẫu số) hoặc không nhân nhân tử phụ với hệ số ban đầu.
Câu 6 :
Kết quả gọn nhất của tích \(\dfrac{{10{x^3}}}{{11{y^2}}}.\dfrac{{121{y^5}}}{{25x}}\) là
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1: Thực hiện phép nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức , ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau. Bước 2: Rút gọn phân thức thu được. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\dfrac{{10{x^3}}}{{11{y^2}}}.\dfrac{{121{y^5}}}{{25x}}\)\( = \dfrac{{10{x^3}.121.{y^5}}}{{11{y^2}.25x}} = \dfrac{{{{2.5.11}^2}{x^3}{y^5}}}{{{{11.5}^2}x{y^2}}} = \dfrac{{22{x^2}{y^3}}}{5}\) . Chú ý
Một số em rút gọn phân thức sai ở bước cuối dẫn đến chọn sai đáp án.
Câu 7 :
Tính giá trị biểu thức \(C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}\) khi \(x = 4;y = 1;z = - 2\) .
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Sử dụng phép chia hai phân thức: \(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C};\,\,\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)\). Thực hiện phép chia từ trái qua phải. Bước 2: Rút gọn phân thức thu được. Bước 3: Thay các giá trị của \(x,\,y,\,z\) vào biểu thức đã rút gọn rồi tính. Lời giải chi tiết :
Ta có \(C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}\)\( = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}.\dfrac{{4{x^2}{y^5}}}{{5{x^2}y}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}} = \dfrac{{8{x^5}{y^7}}}{{5{x^4}{y^6}{z^2}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}\) $ = \dfrac{{8xy}}{{5{z^2}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}} $$= \dfrac{{8xy}}{{5{z^2}}}.\dfrac{{15{x^5}{y^2}}}{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}} $$= \dfrac{{120{x^6}{y^3}}}{{ - 40{x^3}{y^2}{z^5}}} $$= \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}$ . Vậy \(C = \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}.\) Thay \(x = 4;y = 1;z = - 2\) vào \(C = \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}\) ta được \(C = \dfrac{{ - {{3.4}^3}.1}}{{{{\left( { - 2} \right)}^5}}} = 6.\) Chú ý
Một số em rút gọn sai dấu hoặc sai dấu khi thay \(x,\,y,\,z\) nên chọn B sai.
Câu 8 :
Biết \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right) = \dfrac{{...}}{{x + 1}}\) . Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống
Đáp án : D Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết :
Ta có \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right)\)\( = \left( {\dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{{{x^2}}}{x} - \dfrac{{2x}}{x}} \right)\) \( = \dfrac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}:\dfrac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}\) \( = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{x}{{{x^2} - 2x + 1}} = \dfrac{1}{{x + 1}}\) . Vậy số cần điền là \(1\) . Chú ý
Một số em sai do không rút gọn hết đến phân thức có mẫu \(x + 1\) dẫn đến chọn C sai. Cho \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\) . Câu 9
Rút gọn \(C\) ta được
Đáp án : A Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết :
Ta có \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\) \( = \left[ {\dfrac{{21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\left( {\dfrac{{x + 3 - 1}}{{x + 3}}} \right)\) Điều kiện: \(x \ne \pm 3\) \( = \dfrac{{21 + {x^2} - x - 12 - {x^2} + 4x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\dfrac{{x + 2}}{{x + 3}}\) \( = \dfrac{{3x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}} = \dfrac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}}\) \( = \dfrac{3}{{x - 3}}\). Vậy \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) . Câu 10
Tính giá trị biểu thức \(C\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {2x + 1} \right| = 5\) .
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Từ điều kiện của giả thiết ta tìm \(x\) . So sánh với điều kiện để loại giá trị \(x\) không thỏa mãn điều kiện. Bước 2: Thay \(x\) tìm được vào \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) rồi tính. Lời giải chi tiết :
Ta có \(\left| {2x + 1} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 5\\2x + 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = - 3\,\left( L \right)\end{array} \right.\) Thay \(x = 2\) vào \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) ta được \(C = \dfrac{3}{{2 - 3}} = - 3\) . Chú ý
Một số em có thể không loại giá trị \(x = - 3\) do không so sánh với điều kiện nên ra A sai.
Câu 11 :
Đa thức thích hợp để điền vào chỗ trống trong đẳng thức \(\dfrac{{{x^3} - 8}}{{......}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{3x}}\) là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Biến đổi phân thức \(\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{3x}}\) sao cho có tử thức là \({x^3} - 8.\) Từ đó suy ra đa thức cần điền vào chỗ trống Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{3x}} = \dfrac{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}}{{3x(x - 2)}} = \dfrac{{{x^3} - 8}}{{3x(x - 2)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{x^3} - 8}}{{3x(x - 2)}} = \dfrac{{{x^3} - 8}}{{......}}\end{array}\) Vậy đa thức cần tìm là \(3x(x - 2)\) Chú ý
Các em có thể dùng tính chất hai phân thức bằng nhau \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\,\,\left( {A;D \ne 0} \right) \Leftrightarrow A.D = B.C\) để tìm ra đa thức cần điền.
Câu 12 :
Thực hiện phép tính sau: $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức cộng 2 phân thức cùng mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn. Lời giải chi tiết :
Ta có $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}} = x.$
Câu 13 :
Điền vào chỗ trống: $\dfrac{{2x - 6}}{{x + 3}} - .... = \dfrac{{x + 1}}{2}$.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Gọi phân thức cần điền là $P$. Ta sử dụng $A-P=B$ suy ra $P=A-B$. Từ đó thực hiện phép qui đồng và cộng, trừ các phân thức để tìm $P.$ Lời giải chi tiết :
Gọi phân thức cần điền là $P,$ khi đó $P=\dfrac{{2x - 6}}{{x + 3}} - \dfrac{{x + 1}}{2}$$ = \dfrac{{2(2x - 6) - (x + 3)(x + 1)}}{{2(x + 3)}} $$= \dfrac{{4x - 12 - {x^2} - x - 3x - 3}}{{2(x + 3)}} $$= \dfrac{{ - {x^2} - 15}}{{2(x + 3)}}.$
Câu 14 :
Rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(2x + 1)}}$ ta được
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức quy đồng mẫu nhiều phân thức; cộng các phân thức cùng mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn. Lời giải chi tiết :
Điều kiện: $x \ne - 1;x \ne - 2;x \ne \dfrac{{ - 1}}{2}.$ $\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{(2x + 1)(x + 1) + 2x + 1 + x + 2}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{2{x^2} + x + 2x + 1 + 2x + 1 + x + 2}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{2{x^2} + 6x + 4}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{2({x^2} + 3x + 2)}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{2\left( {{x^2} + x + 2x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left[ {x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right)} \right]}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\\= \dfrac{{2(x + 1)(x + 2)}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}} = \dfrac{2}{{2x + 1}}.\end{array}$
Câu 15 :
Tìm biểu thức Q, biết: \(\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\,\, \cdot \,\,Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Áp dụng quy tắc tìm phân thức chưa biết khi biết tích và thừa số + Thực hiện phép chia hai phân thức. + Chú ý đến các hằng đẳng thức để phân tích mẫu thức thành nhân tử Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\,\, \cdot \,\,Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}\\ \Rightarrow Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}:\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}} \\= \dfrac{x}{{{x^2} - 1}} \cdot \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{5x}} \\= \dfrac{x}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \dfrac{{{{(x + 1)}^2}}}{{5x}} \\= \dfrac{{x + 1}}{{5(x - 1)}}\end{array}\)
Câu 16 :
Thực hiện phép tính \(\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}\) ta được kết quả là
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Áp dụng quy tắc nhân chia hai hay nhiều phân thức, áp dụng tính chất phân phối của phép nhân và phép cộng, thứ tự thực hiện phép tính. + Sau đó phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn. Lời giải chi tiết :
\(\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}\) \( = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\left( {\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}} \right)\) \( = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3{x^2} - 3x + 3 + 3x}}{{{x^2} - 36}}\) \( = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3{x^2} + 3}}{{(x - 6)(x + 6)}}\) \( = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3({x^2} + 1)}}{{(x - 6)(x + 6)}} = \dfrac{3}{{x + 6}}.\)
Câu 17 :
Cho $x;y;z \ne 0$ thỏa mãn $x + y + z = 0$. Chọn câu đúng về biểu thức $A = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}$.
Đáp án : D Phương pháp giải :
+ Sử dụng giả thiết để tính $x^2+y^2-z^2$ theo $xy$, $y^2+z^2-x^2$ theo $yz$ và $x^2+z^2-y^2$ theo $xz.$ + Từ đó có biểu thức đơn giản hơn để ta rút gọn và tính toán Lời giải chi tiết :
Từ $x + y + z = 0 \Rightarrow x + y = - z \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = {z^2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} - {z^2} = - 2xy$. Tương tự ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} - {x^2} = - 2yz\\{z^2} + {x^2} - {y^2} = - 2zx\end{array} \right.$ Do đó: $A = \dfrac{{xy}}{{ - 2xy}} + \dfrac{{yz}}{{ - 2yz}} + \dfrac{{zx}}{{ - 2zx}} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{3}{2}$ Vậy $A = - \dfrac{3}{2}.$ Suy ra \(A < - 1.\)
Câu 18 :
Chọn câu đúng.
Đáp án : D Phương pháp giải :
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữa nguyên. Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể). Lời giải chi tiết :
* \(\dfrac{{3x - 4}}{{4{x^2}{y^5}}} + \dfrac{{9x + 4}}{{4{x^2}{y^5}}} = \dfrac{{3x - 4 + 9x + 4}}{{4{x^2}{y^5}}} = \dfrac{{12x}}{{4{x^2}{y^5}}} = \dfrac{3}{{x{y^5}}}\) nên A sai. * \(\dfrac{{2x + 5}}{3} + \dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{2x + 5 + x - 2}}{3} = \dfrac{{3x + 3}}{3} = x + 1\) nên B sai. * \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{6x + 2}}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{x + 8 - (2x - 1) - (6x + 2)}}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{x + 8 - 2x + 1 - 6x - 2}}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{ - 7x + 7}}{{x - 1}} = \dfrac{{ - 7(x - 1)}}{{x - 1}} = - 7.\end{array}\) nên C sai. * \(\dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\)\( = \dfrac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{y\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + xy + xy - {y^2} + 2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + 2xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{x + y}}{{x - y}}\) nên D đúng. Chú ý
Một số em sai dấu khi thực hiện phép trừ các phân thức nên sai đáp án.
Câu 19 :
Cho \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc = 2017\). Tính giá trị biểu thức sau \(Q = \dfrac{{2017a}}{{ab + 2017a + 2017}} + \dfrac{b}{{bc + b + 2017}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}.\)
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn, cộng các phân thức cùng mẫu và rút gọn. Lời giải chi tiết :
Thay\(2017 = abc\) vào biểu thức \(Q\) ta có: \(\begin{array}{l}Q = \dfrac{{abc.a}}{{ab + abc.a + abc}} + \dfrac{b}{{bc + b + abc}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \dfrac{{ab(ac)}}{{ab(1 + ac + c)}} + \dfrac{b}{{b(c + 1 + ac)}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \dfrac{{ac}}{{ac + 1 + c}} + \dfrac{1}{{ac + 1 + c}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \dfrac{{ac + 1 + c}}{{ac + 1 + c}} = 1.\end{array}\) Vậy \(Q = 1.\)
Câu 20 :
Thực hiện phép tính sau \(\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)\), ta được kết quả là:
Đáp án : A Phương pháp giải :
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để rút gọn biểu thức. Lời giải chi tiết :
\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right) = \left( {\dfrac{{2x - 3x - 1}}{{3x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{{9{x^2} - 1 - 8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)\\ = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}:\dfrac{{{x^2} - 1}}{{9{x^2} - 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}.\dfrac{{9{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \dfrac{{ - (x + 1)}}{{3x + 1}}.\dfrac{{(3x + 1)(3x - 1)}}{{(x + 1)(x - 1)}} = \dfrac{{1 - 3x}}{{x - 1}}.\end{array}\)
Câu 21 :
Biết \(\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{...}}{{...}}\). Đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là:;
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử. Bước 2: Thực hiện phép nhân hai phân thức và rút gọn phân thức thu được. Lời giải chi tiết :
Ta có: \(\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}\) \( = \dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5({x^3} + 1)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3({x^3} + 1)}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{6x}}{{5({x^2} + 4)}}.\) Vậy các đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là \(6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)\).
Câu 22 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} +7}}\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
- Phân tích mẫu số để sử dụng được kiến thức \(m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m\,\,\) với mọi \(A,B\). Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\). Từ đó tìm được GTLN của mẫu số. - Lập luận để tìm GTNN của \(Q\). Lời giải chi tiết :
Ta có: \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} + 7}}\)\( = \dfrac{{18}}{{ - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 8}} = \dfrac{{18}}{{8 - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\) Ta có: \(Q\) đạt GTNN \( \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) đạt GTLN. Mà \({\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 8,\,\forall x\) . Dấu “=” xảy ra khi \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\) nên GTLN của \(8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) là \(8\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\). Hay GTNN của \(Q\) là \(\dfrac{{18}}{8} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\).
Câu 23 :
Rút gọn phân thức \(A = \dfrac{{3\left| {x - 2} \right| - 5\left| {x - 6} \right|}}{{4{x^2} - 36{\rm{x}} + 81}}\) với 2 < x < 6 ta được:
Đáp án : C Phương pháp giải :
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,khi\,\,a \ge 0\\ - a\,\,khi\,\,a < 0\end{array} \right.\) + Phân tích tử và mẫu thành nhân tử theo từng trường hợp. + Rút gọn phân thức. Lời giải chi tiết :
Với \(2 < x < 6 \Rightarrow x - 2 > 0\) và \(x - 6 < 0.\) \( \Rightarrow |x - 2| = x - 2\) và \(|x - 6| = 6 - x.\) \(A = \dfrac{{3\left| {x - 2} \right| - 5\left| {x - 6} \right|}}{{4{x^2} - 36{\rm{x}} + 81}} = \dfrac{{3(x - 2) - 5(6 - x)}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{{3x - 6 - 30 + 5x}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{{8x - 36}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{{4(2x - 9)}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{4}{{2x - 9}}.\) Chú ý
Một số em phá dấu giá trị tuyệt đối sai dẫn đến sai đáp án.
Câu 24 :
Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}},\dfrac{7}{{3\left( {x + 3} \right)}}\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Tìm mẫu chung + Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử. + Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. Lời giải chi tiết :
Mẫu thức của hai phân thức \(\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}},\dfrac{7}{{3\left( {x + 3} \right)}}\) là \({\left( {x + 3} \right)^3}\) và \(3\left( {x + 3} \right)\). Nên mẫu thức chung có phần hệ số là \(3\), phần biến số là \({\left( {x + 3} \right)^3}\) \( \Rightarrow \) Mẫu thức chung \(3{\left( {x + 3} \right)^3}\). Chú ý
Một số em có thể thiếu phần hệ số khi xác định mẫu chung.
Câu 25 :
Các phân thức \(\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}\) có mẫu chung là:
Đáp án : B Phương pháp giải :
Tìm mẫu chung: + Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử. + Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. Lời giải chi tiết :
Ta có các phân thức: \(\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}\) có mẫu lần lượt là: \(4x - 12 = 4\left( {x - 3} \right);4x + 12 = 4\left( {x + 3} \right);\)\(9 - {x^2} = - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\) Nên mẫu thức chung có phần hệ số là \(4\) và phần biến số là \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\). Hay mẫu thức chung là \(4\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\). |
