Đề kiểm tra 15 phút chương 7: Tam giác đồng dạng - Đề số 1Đề bài
Câu 1 :
Chọn câu trả lời đúng: Cho hình thang $ABCD$ ($AB{\rm{//}}CD$),$O$ là giao điểm của $AC$ và$BD$ . Xét các khẳng định sau: (I) \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\) (II) \(\dfrac{{OB}}{{OC}} = \dfrac{{BC}}{{AD}}\)
Câu 2 :
Hãy chọn câu sai. Cho hình vẽ với $AB<AC$: ![]()
Câu 3 :
Cho hình vẽ, trong đó $DE{\rm{//}}BC$, $AD = 12,\,\,DB = 18,\,\,CE = 30$. Độ dài $AC$ bằng: ![]()
Câu 4 :
Cho \(\Delta MNP,MA\) là phân giác ngoài của góc $M$ , biết \(\dfrac{{NA}}{{PA}} = \dfrac{3}{4}\). Hãy chọn câu đúng. ![]()
Câu 5 :
Hãy chọn câu đúng. Tính độ dài \(x,y\) của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo là $cm$ .
Câu 6 :
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9\,cm$, điểm $D$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AD = 6\,cm$. Kẻ $DE$ song song với $BC$ $\left( {E \in AC} \right)$, kẻ $EF$ song song với $CD$ $\left( {F \in AB} \right)$. Tính độ dài $AF$ .
Câu 7 :
Cho hình thang \(ABCD\)\(\left( {AB//CD} \right)\) có diện tích \(36\,c{m^2}\),\(AB = 4\,{\rm{cm,CD = 8}}\,{\rm{cm}}\). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Tính diện tích tam giác \(COD\).
Câu 8 :
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , đường phân giác trong của góc $B$ cắt $AC$ tại $D$ và cho biết $AB = 15$ $cm$ , $BC = 10cm$ . Khi đó $AD = $ ?
Câu 9 :
Cho tam giác $ABC$ , \(\widehat A = {90^0}\), $AB = 15 cm, AC = 20 cm,$ đường cao $AH$ \((H \in BC)\). Tia phân giác của \(\widehat {HAB}\) cắt $HB$ tại $D$ . Tia phân giác của \(\widehat {HAC}\) cắt $HC$ tại $E$ . Tính $DH$ ?
Câu 10 :
Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chọn khẳng định đúng nhất.
Lời giải và đáp án
Câu 1 :
Chọn câu trả lời đúng: Cho hình thang $ABCD$ ($AB{\rm{//}}CD$),$O$ là giao điểm của $AC$ và$BD$ . Xét các khẳng định sau: (I) \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\) (II) \(\dfrac{{OB}}{{OC}} = \dfrac{{BC}}{{AD}}\)
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Tìm cặp đoạn thẳng song song (nếu chưa cho), áp dụng định lý Talet để có tỉ lệ thức. Bước 2: So sánh với các khẳng định để tìm ra khẳng định đúng. Lời giải chi tiết :
![]() Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\), áp dụng định lý Talet, ta có: \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\) \( \Rightarrow \)Khẳng định (I) \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\) đúng, khẳng định (II) \(\dfrac{{OB}}{{OC}} = \dfrac{{BC}}{{AD}}\) sai.
Câu 2 :
Hãy chọn câu sai. Cho hình vẽ với $AB<AC$: ![]()
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
Theo định lý đảo của định lý Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Nên D sai.
Câu 3 :
Cho hình vẽ, trong đó $DE{\rm{//}}BC$, $AD = 12,\,\,DB = 18,\,\,CE = 30$. Độ dài $AC$ bằng: ![]()
Đáp án : C Phương pháp giải :
Sử dụng định lý Ta-lét tính \(AE\) từ đó tính \(AC\) . Lời giải chi tiết :
![]() Vì $DE{\rm{//}}BC$, theo định lý Ta-lét ta có \(\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{18}} = \dfrac{{AE}}{{30}}\)\( \Rightarrow EA = \dfrac{{30.12}}{{18}} = 20\,cm\) Nên \(AC = AE + EC = 50\,cm\)
Câu 4 :
Cho \(\Delta MNP,MA\) là phân giác ngoài của góc $M$ , biết \(\dfrac{{NA}}{{PA}} = \dfrac{3}{4}\). Hãy chọn câu đúng. ![]()
Đáp án : D Lời giải chi tiết :
![]() Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có \(\dfrac{{MN}}{{MP}} = \dfrac{{NA}}{{PA}} = \dfrac{3}{4}\)
Câu 5 :
Hãy chọn câu đúng. Tính độ dài \(x,y\) của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo là $cm$ .
Đáp án : D Phương pháp giải :
Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác: "Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy." Và sử dụng tính chất tỉ lệ thức. Lời giải chi tiết :
Vì \(AD\) là phân giác \(\widehat {BAC}\) nên ta có \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{15}}{{20}} = \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BD + DC}} = \dfrac{3}{{4 + 3}} = \dfrac{3}{7}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{3}{7} \Rightarrow \dfrac{x}{{28}} = \dfrac{3}{7}\\ \Rightarrow x = 12\,cm\)\( \Rightarrow y = 28 - x = 16\,cm\) Vậy $x = 12\,cm;\,y = 16\,cm$ .
Câu 6 :
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9\,cm$, điểm $D$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AD = 6\,cm$. Kẻ $DE$ song song với $BC$ $\left( {E \in AC} \right)$, kẻ $EF$ song song với $CD$ $\left( {F \in AB} \right)$. Tính độ dài $AF$ .
Đáp án : C Lời giải chi tiết :
![]() Áp dụng định lí Ta-lét : Với ${\rm{EF//}}CD$ ta có $\dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$. Với $DE{\rm{//}}BC$ ta có $\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$. Suy ra $\dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$, tức là $\dfrac{{AF}}{6} = \dfrac{6}{9}$. Vậy ${\rm{AF = }}\dfrac{{6.6}}{9} = 4$(cm).
Câu 7 :
Cho hình thang \(ABCD\)\(\left( {AB//CD} \right)\) có diện tích \(36\,c{m^2}\),\(AB = 4\,{\rm{cm,CD = 8}}\,{\rm{cm}}\). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Tính diện tích tam giác \(COD\).
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Từ công thức tính diện tích hình thang ta tính chiều cao của hình thang. Bước 2: Sử dụng định lý Ta-lét để tính chiều cao của tam giác \(ODC\) từ đó suy ra diện tích tam giác \(ODC\) . Lời giải chi tiết :
![]() Kẻ \(AH \bot DC;\,OK \bot DC\) tại \(H;K\) suy ra \(AH{\rm{//}}OK\) . Chiều cao của hình thang :\(AH = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}} = \dfrac{{2.36}}{{4 + 8}} = 6\left( {cm} \right)\) Vì \(AB{\rm{//}}DC\) (do \(ABCD\) là hình thang) nên theo định lý Ta-lét ta có \(\dfrac{{OC}}{{OA}} = \dfrac{{CD}}{{AB}} = \dfrac{8}{4} = 2\)\( \Rightarrow \dfrac{{OC}}{{OC + OA}} = \dfrac{2}{{2 + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{OC}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}\) Vì \(AH{\rm{//}}OK\) (cmt) nên theo định lý Ta-lét cho tam giác \(AHC\) ta có \(\begin{array}{l}\dfrac{{OK}}{{AH}} = \dfrac{{OC}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow OK = \dfrac{2}{3}AH \Leftrightarrow OK = \dfrac{2}{3}.6 = 4\,cm\end{array}\) Do đó \({S_{COD}} = \dfrac{1}{2}OK.DC = \dfrac{1}{2}.4.8 = 16\left( {c{m^2}} \right)\).
Câu 8 :
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , đường phân giác trong của góc $B$ cắt $AC$ tại $D$ và cho biết $AB = 15$ $cm$ , $BC = 10cm$ . Khi đó $AD = $ ?
Đáp án : C Phương pháp giải :
Kết hợp tính chất định lý, đã học và tính chất đường phân giác của tam giác để tìm ra tỉ lệ thức phù hợp, từ đó tìm ra độ dài $AD$ . Lời giải chi tiết :
![]() Vì $BD$ là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên: \(\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) Suy ra: \(\dfrac{{AD}}{{DC + AD}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}\) (theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau) \( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}\) Mà tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB = 15cm.$\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{15}} = \dfrac{{15}}{{15 + 10}} \)\(\Rightarrow AD = \dfrac{{15.15}}{{25}} = 9\;cm\)
Câu 9 :
Cho tam giác $ABC$ , \(\widehat A = {90^0}\), $AB = 15 cm, AC = 20 cm,$ đường cao $AH$ \((H \in BC)\). Tia phân giác của \(\widehat {HAB}\) cắt $HB$ tại $D$ . Tia phân giác của \(\widehat {HAC}\) cắt $HC$ tại $E$ . Tính $DH$ ?
Đáp án : A Phương pháp giải :
Bước 1: Áp dụng các tính chất và định lý đã học để tìm ra dữ kiện cần thiết. Bước 2: Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tìm ra giá trị của $DH$ . Lời giải chi tiết :
![]() Áp dụng định lý Pytago vào tam giác $ABC$ vuông tại$A$ , ta có: \(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {15^2} + {20^2} = B{C^2}\\ \Rightarrow BC = 25\end{array}\) Ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{2}.AH.BC\) \( \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{15.20}}{{25}} = 12\) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác $AHB$ vuông tại$H$ , ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\\ \Leftrightarrow {15^2} = {12^2} + H{B^2}\\ \Rightarrow H{B^2} = 81 \Rightarrow HB = 9\\ \Rightarrow HC = BC - HB = 25 - 9 = 16.\end{array}\) Vì $AD$ là phân giác của tam giác $ABH$ nên: \(\begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{AH}} = \dfrac{{BD}}{{DH}} \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{AH}} = \dfrac{{BH - DH}}{{DH}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{15}}{{12}} = \dfrac{{9 - DH}}{{DH}} \Leftrightarrow 15DH = 108 - 12DH \Leftrightarrow DH = 4\,cm.\end{array}\)
Câu 10 :
Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chọn khẳng định đúng nhất.
Đáp án : C Phương pháp giải :
Bước 1: Vẽ thêm đường thẳng song song để hình thành các cặp đoạn thẳng tỉ lệ. Bước 2: Áp dụng định lý Talet và tính chất bắc cầu để tìm ra tỉ lệ thức cần chứng minh Lời giải chi tiết :
![]() Kẻ đường thẳng đi qua $A$ song song với $BC$ lần lượt cắt $CD$ và $BE$ kéo dài tại \(B'\) và \(C'\). Vì M là trung điểm của $BC$ nên \(BM = MC\). Vì \(AB'{\rm{//}}MC\), áp dụng định lý Talet ta có: \(\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AB'}}{{MC}}\) (1)\(\) Vì \(AC'{\rm{//}}\,BM\), áp dụng định lý Talet ta có: \(\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}\) (2) Từ (1) và (2) ta có: \(\dfrac{{AB'}}{{MC}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}\) Ta có $M$ là trung điểm của $BC$ \( \Rightarrow \)\(BM = MC\)\( \Rightarrow \)\(AB' = AC'\) (*) Vì \(AB'{\rm{//}}\,BC\), áp dụng định lý Talet ta có: \(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}}\) (**) Vì \(AC'{\rm{//}}\,BC\), áp dụng định lý Talet ta có: \(\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}\) (***) Từ (*), (**) và (***) ta có: \(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}\) \( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{CE}}\) hay \(DE{\rm{//}}BC\) |