Giải mục V trang 8 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 6

Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề dạng \(P \Rightarrow Q\) như sau:

“Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”.

Phát biểu mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) và xác định tính đúng sai của hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\).

Phương pháp giải:

Viết mệnh đề kéo theo \(Q \Rightarrow P\), sử dụng một trong các dạng “Nếu Q thì P”, “Q kéo theo P”, “Q suy ra P”, “Vì Q nên P”.

Xét tính đúng sai của hai mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

P: “tam giác ABC vuông tại A”

Q: “tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”

+) Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là “Nếu tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)thì tam giác ABC vuông tại A”

+) Từ định lí Pytago, ta có:

Tam giác ABC vuông tại A thì \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

Và: Tam giác ABC có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) thì vuông tại A.

Do vậy, hai mệnh đề “\(P \Rightarrow Q\)” và “\(Q \Rightarrow P\)” đều đúng.

Luyện tập – Vận dụng 6

Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC đều”

Q: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”,

Hãy phát biểu hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) và xác định tính đúng sai của mệnh đề đó.

Nếu cả hai mệnh đề trên đều đúng, hãy phát biểu mệnh đề tương đương.

Phương pháp giải:

+) Mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\) có dạng “Nếu P thì Q”, “P kéo theo Q”, “P suy ra Q”, “Vì P nên Q”.

+) Mệnh đề tương đương \(P \Leftrightarrow Q\) có thể phát biểu ở những dạng sau:

“P tương đương Q”, “P là điều kiện cần và đủ để có Q”, “P khi và chỉ khi Q”, “P nếu và chỉ nếu”

Lời giải chi tiết:

+) Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là: “Vì tam giác ABC đều nên tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”.

+) Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) là: “Tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\) suy ra tam giác ABC đều”.

Dễ thấy cả hai mệnh đề trên đều đúng.

+) Mệnh đề tương đương: (dùng một trong các cách sau:)

“Tam giác ABC đều tương đương tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”

“Tam giác ABC đều là điều kiện cần và đủ để có tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”

“Tam giác ABC đều khi và chỉ khi tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”

“Tam giác ABC đều nếu và chỉ nếu tam giác ABC cân và có một góc bằng \({60^o}\)”