Giải mục II trang 96, 97, 98 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều

Hoạt động 3

Đóng hai chiếc đinh cố định tại hai điểm \({F_1},{F_2}\) trên mặt một bảng gỗ. Lấy một thước thẳng có mép AB và một sợi dây không đàn hồi có chiều dài \(l\)  thoả mãn\(AB--{F_1}{F_2}{\rm{ }} < l < AB\) . Đính một đầu dây vào điểm A và đầu dây kia vào \({F_2}\). Đặt thước sao cho điểm B trùng với \({F_1}\), và lấy đầu bút chì (kí hiệu là M) tì sát sợi dây vào thước thẳng sao cho sợi dây luôn bị căng. Sợi dây khi đó là đường gấp khúc\(AM{F_2}\) , Cho thước quay quanh điểm B (trùng \({F_1}\)), tức là điểm A chuyển động trên đường tròn tâm B có bán kính bằng độ dài đoạn thẳng AB, mép thước luôn áp sát mặt gỗ (Hình 53). Khi đó, đầu bút chì M sẽ vạch nên một đường mà ta gọi là đường hypebol. Khi M thay đổi, có nhận xét gì về hiệu\(M{F_1} - M{F_2}\) ?

Lời giải chi tiết:

Khi M thay đổi, hiệu \(M{F_1} - M{F_2} = \left( {M{F_1} + MA} \right) - \left( {M{F_2} + MA} \right) = AB - l{\rm{ }}\)không đổi.

Hoạt động 4

Để lập phương trình của đường hypebol trong mặt phẳng, trước tiên ta sẽ chọn hệ trục toạ độ Oxy thuận tiện nhất. Tương tự elip, ta chọn trục Ox là đường thẳng \({F_1}{F_2}\), trục Oy là đường trung trực của đoạn thẳng \({F_1}{F_2} = {\rm{ }}2c{\rm{ }}\left( {c{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right),\)gốc toạ độ O là trung điểm của đoạn thẳng \({F_1}{F_2}\) (Hình 54).

a) Tìm toạ độ của hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\).

b) Nếu dự đoán thích hợp cho “?” trong bảng sau:

Lời giải chi tiết:

Luyện tập – vận dụng 2

Viết phương trình hypebol sau đây dưới dạng chính tắc: \(4{x^2}-9{y^2} = {\rm{ }}1.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(4{x^2}-9{y^2} = {\rm{ }}1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{9}} \right)}^2}}} = 1\)

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là: \(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{9}} \right)}^2}}} = 1\)