Giải bài tập 7 trang 78 SGK Toán 9 tập 2 - Cánh diều

Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao AM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H (Hình 30). Chứng minh: a) (widehat {MHN} + widehat {ABC} = 180^circ .) b) (widehat {AHC} = widehat {ADC.}) c) (widehat {ADC} = widehat {BAM} + 90^circ .)

Quảng cáo

Đề bài

Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao AM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H (Hình 30). Chứng minh:

a) \(\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ .\)

b) \(\widehat {AHC} = \widehat {ADC.}\)

c) \(\widehat {ADC} = \widehat {BAM} + 90^\circ .\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng tổng 4 góc trong tứ giác HMBN bằng \(180^\circ \)

b) \(\widehat {AHC} = \widehat {ADC}\) vì cùng bù với góc CBA.

c) Chứng minh \(\widehat {BAM} + \widehat {AMB} = \widehat {BAM} + 90^\circ  = 180^\circ  - \widehat {MBA} = \widehat {ADC}.\)

Lời giải chi tiết

a) Do tam giác ABC có hai đường cao AM, CN nên \(\widehat {HMB} = 90^\circ ,\widehat {BNH} = 90^\circ \)

Xét tứ giác HMBN có:

\(\begin{array}{l}\widehat {NHM} + \widehat {HMB} + \widehat {MBN} + \widehat {BNH} = 360^\circ \\\widehat {NHM} + \widehat {MBN} = 360^\circ  - \widehat {HMB} - \widehat {BNH}\\\widehat {NHM} + \widehat {MBN} = 360^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  = 180^\circ .\end{array}\)

Hay \(\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ .\)

b) Vì ABCD nội tiếp đường tròn nên  \(\widehat {CDA} + \widehat {ABC} = 180^\circ .\)

mà \(\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ \) (câu a)

suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {MHN}\), hơn nữa \(\widehat {CHA} = \widehat {MHN}\) (đối đỉnh)

vậy \(\widehat {CHA} = \widehat {CDA.}\)

c) Xét tam giác AMB vuông tại M có: \(\widehat {BAM} + \widehat {AMB} = \widehat {BAM} + 90^\circ  = 180^\circ  - \widehat {MBA.}\)

Mà \(180^\circ  - \widehat {MBA} = \widehat {ADC}\) (do ABCD nội tiếp)

Vậy \(\widehat {ADC} = \widehat {BAM} + 90^\circ .\)

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

close