Bài 23 trang 88 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác vuông $ABC$ có $\widehat A = 90^\circ ,$ $AB = 12cm, AC = 16cm;$ đường phân giác góc $A$ cắt $BC$ tại $D.$

a) Tính $BC, BD$ và $CD.$

b) Vẽ đường cao $AH,$ tính $AH, HD$ và $AD.$

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $ABC$, ta có: 

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2}$$\,= 400$

$\Rightarrow BC = 20 \;(cm)$.

Vì $AD$ là đường phân giác của $\widehat {BAC}$ nên ta có:

$\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}$ (tính chất đường phân giác của tam giác)

Áp dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có:

$\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}$

$\Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}$

$\Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}$

$\Rightarrow \displaystyle  DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{20.12} \over {12 + 16}}$$\, \displaystyle = {{60} \over 7}$ (cm)

Vậy $DC = BC - DB = \displaystyle 20 - {{60} \over 7} = {{80} \over 7}$ (cm)

b) Ta có $\displaystyle {S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}AH.BC$

$\Rightarrow AB.AC = AH.BC$

$\Rightarrow \displaystyle  AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = 9,6$  (cm)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $AHB$, ta có:

$A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}$

$\Rightarrow  H{B^2} = A{B^2} - A{H^2}$$\, = {12^2} - {\left( {9,6} \right)^2} = 51,84$

$\Rightarrow HB = 7,2\;(cm)$

Vậy $\displaystyle  HD = BD - HB = {{60} \over 7} - 7,2$$\,\approx 1,37\; (cm)$

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $AHD$, ta có:

$A{D^2} = A{H^2} + H{D^2}$$\,= {\left( {9,6} \right)^2} + {\left( {1,37} \right)^2}$$\,= 94,0369$

$\Rightarrow  AD ≈ 9,7\; (cm)$.

Loigiaihay.com