Giải bài 9 trang 96 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với đồ thị là parabol (P) có đỉnh \(I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\) và đi qua điểm \(A(1;2)\).

a) Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng \(y = a{(x - h)^2} + k\), tron đó I(h;k) là tọa độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol (P) đã cho và vẽ parabol này.

b) Từ parabol (P) đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số \(y = f(x)\).

c) Giải bất phương trình \(f(x) \ge 0\).

Lời giải chi tiết

a) Parabol: \(y = a{(x - h)^2} + k\) với \(I(h;k) = \left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\) là tọa độ đỉnh.

\( \Rightarrow y = a{\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4}\).

(P) đi qua \(A(1;2)\) nên \(2 = a{\left( {1 - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \Rightarrow a = 1\).

\( \Rightarrow y = {\left( {x - \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} \Leftrightarrow y = {x^2} - 5x + 6\).

Vậy parabol đó là \(y = {x^2} - 5x + 6\).

b) Vẽ parabol \(y = {x^2} - 5x + 6\):

+ Đỉnh \(I\left( {\frac{5}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\).

+ Giao với Oy tại điểm \((0;6)\).

+ Giao với Ox tại điểm \((3;0)\) và \((2;0)\).

+ Trục đối xứng \(x = \frac{5}{2}\). Điểm đối xứng với điểm \((0;6)\) qua trục đối xứng có tọa độ \((5;6)\).

 

b) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right)\).

c) \(f(x) \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \ge 0\).

Cách 1: Quan sát đồ thị, ta thấy các điểm có \(y \ge 0\) ứng với hoành độ \(x \in ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\).

Do đó tập nghiệm của BPT \(f(x) \ge 0\) là \(S = ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\).

Cách 2:

\( {x^2} - 5x + 6 \ge 0 \Leftrightarrow (x - 2)(x - 3) \ge 0\).

Do đó \(x - 2\) và \(x - 3\) cùng dấu.

Mà \(x - 2 > x - 3\;\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 2\end{array} \right.\)

Tập nghiệm của BPT là \(S = ( - \infty ;2] \cup [3; + \infty )\).