Giải bài 4.37 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Cho vectơ a khác 0. Chứng minh rằng 1/|a|. a (hay còn được viết là a/|a| là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ a.

Quảng cáo

Đề bài

Cho vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay còn được viết là \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).

Lời giải chi tiết

Cho vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay còn được viết là \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Gọi tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y).

Ta có: \(|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

Đặt \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a \)

\( \Rightarrow \overrightarrow i  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.(x;y) = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }};\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)\)

\( \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}}  = 1\)

Mặt khác:

 \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.\overrightarrow a \) và \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} > 0\) với mọi \(x,y \ne 0\)

Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.

Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).

Cách 2:

Với mọi vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \), ta có:  \(|\overrightarrow a |\; > 0 \Rightarrow k = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}} > 0\). Đặt \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \;|k.\overrightarrow a |\; = \;|k|.|\overrightarrow a |\;\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {\,i} \,} \right| = k.|\overrightarrow a |\; = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.|\overrightarrow a | = 1\end{array}\)

Mặt khác: \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a \) và \(k > 0\)

Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.

Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).

  • Giải bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

    Cho ba vectơ a, b, u với |a|=1, |b|=1 và a vuông góc với b. Xét một hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị i=a,j=b. Chứng minh rằng: a) Vectơ u có tọa độ là (u.a; u.b) b) u= (u.a).a +(u.b).b

  • Giải bài 4.39 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

    Trên sông, một cano chuyển động thẳng đều theo hướng S15E với vận tốc có độ lớn bằng 20 km/h. Tính vận tốc riêng của cano, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng 3 km/h.

  • Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-2; -2) và D (6;5). a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ AB và CD b) Hãy giải thích tại sao các vectơ AB và CD cùng phương. c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ AC và BE cùng phương. d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ AE theo các vectơ AB và AC.

  • Giải bài 4.35 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (2; 1), B (-2; 5) và C (-5; 2). a) Tìm tọa độ của các vectơ BA và BC b) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó. c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. d) Tìm tọa độ của điểm D sao cho tứ giác BCAD là một hình bình hành.

  • Giải bài 4.34 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

    Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có MA + MC = MB + MD

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close