Giải bài 4.14 trang 58 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thứcCho tam giác ABC a) Hãy xác định điểm M để MA +MB+2MC=0 b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có OA+OB+2OC = 4OM Quảng cáo
Đề bài Cho tam giác ABC. a) Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \). b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \). Phương pháp giải - Xem chi tiết Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \). Lời giải chi tiết a) Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0\) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \) \(\Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \). Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho \(AD = \frac{1}{4}AB\), \(AE = \frac{1}{2}AC\). Khi đó \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} \) hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD. Cách 2: Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) \(\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CB} } \right) + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) \(\Leftrightarrow 4\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \) \(\Leftrightarrow 4.\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \). Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD. Khi đó: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} \) \( \Rightarrow 4.\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CD} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {CD} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CO} \). Với O là tâm hình bình hành ACBD, cũng là trung điểm đoạn AB. Vậy M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC. b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \). Với mọi điểm O, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} \\\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} \\\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} \end{array} \right.\) \(\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} \) \(= \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} } \right)\) \(= 4\overrightarrow {OM} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right) \) \(= 4\overrightarrow {OM} + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {OM} \). Vậy với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \).  Chia sẻ Bình luận
PH/HS 2K10 Tham Gia Nhóm Zalo Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!
|
Danh sách bình luận