Giải bài 17 trang 97 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí A, B nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là 16 km và trạm ở vị trí A nhận được tín hiệu sơm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí B. Giả sử vận tốc âm thanh là 1236 km/h. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.

Lời giải chi tiết

Gọi M là vị trí phát ra âm thanh cầu cứu trong rừng.

Gọi \({t_1},{t_2}\) lần lượt là thời gian trạm A, B nhận được tín hiệu cầu cứu (đơn vị: giây).

\( \Rightarrow {t_A} = {t_B} - 6 \Leftrightarrow {t_B} - {t_A} = 6\).

Đổi \(v = 1236\) km/h \(= \frac{{1236}}{{3600}}\) km/s \(= \frac{{103}}{{300}}\) km/s.

Ta có: \(MA = {t_A}.v;MB = {t_B}.v\)

\( \Rightarrow MB - MA = ({t_B} - {t_A}).v = 6.\frac{{103}}{{300}} = 2,06\) (km).

Như vậy, tập hợp các điểm M là một hypepol nhận A, B làm hai tiêu điểm.

Ta có: \(AB = 16 = 2c \Rightarrow c = 8\); \(\left| {MA - MB} \right| = 2,06 = 2a \Rightarrow a = 1,03\).

\( \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = {8^2} - 1,{03^2} = 62,9391\).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol đó là (H): \(\frac{{{x^2}}}{{1,0609}} - \frac{{{y^2}}}{{62,9391}} = 1\).

Do MA < MB nên M thuộc của nhánh (H) gần A.

Vậy phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó là nhánh gần A của hypebol (H) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{1,0609}} - \frac{{{y^2}}}{{62,9391}} = 1\).