Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 8 - Cánh diều

Đề thi học kì 2 Toán 8 - Đề số 2 - Cánh diều

Tải về

Tải về đề thi và đáp án Tải về đề thi Tải về đáp án
Làm đề thi

Phần trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?

Đề bài

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?

  • A
    \(3x - y = 0\).
  • B
    \(2y + 1 = 0\).
  • C
    \(4 + 0.x = 0\).
  • D
    \(3{x^2} = 8\).
Câu 2 :

Phương trình \(3x + m - x - 1 = 0\) nhận \(x =  - 3\) là nghiệm thì m là:

  • A
    \(m =  - 3\).
  • B
    \(m = 0\).
  • C
    \(m = 7\).
  • D
    \(m =  - 7\)
Câu 3 :

Một ô tô đi từ A đến B từ 6 giờ sáng, lúc 7 giờ sáng cùng ngày, một xe khách cũng đi từ A và tới B cùng lúc với ô tô. Vậy nếu gọi thời gian đi của xe khách là x ( giờ) thì thời gian đi của ô tô là:

  • A
    \(x + 1\) (giờ).
  • B
    \(x - 1\) (giờ).
  • C
    \(2x\) (giờ).
  • D
    \(x\) (giờ).
Câu 4 :

Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương. Gọi x là tuổi của Phương năm nay vậy thì phương trình tìm x là

  • A
    \(3x + 13 = 2\left( {x + 13} \right)\).
  • B
    \(\frac{x}{3} + 13 = 2\left( {x + 13} \right)\).
  • C
    \(x + 13 = 2\left( {3x + 13} \right)\).
  • D
    \(3x = 2\left( {x + 13} \right)\).
Câu 5 :

Cho công thức \(C = \frac{5}{9}\left( {F - 32} \right)\) với C = 10. Tính \(F\), ta được kết quả:

  • A
    \(F = 50\).
  • B
    \(F = 32\).
  • C
    \(F = 10\).
  • D
    \(F = 40\).
Câu 6 :

Cho $\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ theo tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{2}\) thì tỉ số hai đường cao tương ứng là:

  • A
    \(\frac{1}{2}\).
  • B
    \(2\).
  • C
    \(1\).
  • D
    \(\frac{1}{4}\).
Câu 7 :

Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo tỉ số đồng dạng là 2. Tam giác DEF đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số đồng dạng là 2. Biết \(\widehat A = {30^0}\), tính số đo \(\widehat M\)

  • A
    \(\widehat M = {30^0}\).
  • B
    \(\widehat M = {60^0}\).
  • C
    \(\widehat M = {120^0}\).
  • D
    \(\widehat M = {15^0}\).
Câu 8 :

Tam ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Biết chu vi tam giác MNP là 12cm, chu vi tam giác ABC là:

  • A
    18cm.
  • B
    24cm.
  • C
    30cm.
  • D
    36cm.
Câu 9 :

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trong các khẳng định sau đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?

(1) \(A{B^2} = BH.CH\)

(2) \(A{C^2} = CH.BC\)

(3) \(B{C^2} = AB.AC\)

  • A
    0.
  • B
    1.
  • C
    2.
  • D
    3.
Câu 10 :

Cho hình bình hành ABCD, kẻ \(AH \bot CD\) tại H; \(AK \bot BC\) tại K. Chọn câu trả lời đúng.

  • A
    \(\Delta HDA\backsim \Delta KAB\).
  • B
    \(\Delta ADH\backsim \Delta AKB\).
  • C
    \(\Delta KAB\backsim \Delta HAD\).
  • D
    \(\Delta BKA\backsim \Delta AHD\).
Câu 11 :

Một mô hình ô tô dài 12cm. Thực tế ô tô dài 2,4m. Tỉ số đồng dạng của mô hình và vật thật là:

  • A
    \(\frac{1}{{20}}\).
  • B
    \(\frac{1}{{200}}\).
  • C
    \(\frac{1}{5}\).
  • D
    \(20\).
Câu 12 :

Hình biểu diễn đúng tâm phối cảnh của cặp hình đồng dạng này là:

  • A
    Hình 1.
  • B
    Hình 2.
  • C
    Hình 3.
  • D
    Hình 4.
II. Tự luận
Câu 1 :

Giải các phương trình sau:

a) \(x + 2 = - 6x + 16\)

b) \(2\left( {x - 3} \right) = 5\left( {x - 2} \right) + 8\)

c) \(\frac{{x - 1}}{9} + \frac{{x - 3}}{7} = 2\)

d) \(\frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3x - 2}}{2} = \frac{1}{6}\)
Câu 2 :

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Tổ sản xuất được giao dệt một số thảm trong 20 ngày. Nhưng do tổ tăng năng suất 20% nên đã hoàn thành sau 18 ngày. Không những vậy mà tổ còn làm thêm được 24 chiếc thảm. Tính số thảm thực tế tổ sản xuất làm được.
Câu 3 :

Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 5 m và 3 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm. Tính độ cao ℎ của điểm đó so với mặt đất.
Câu 4 :

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC)  có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$

b) Đường thẳng qua E song song với AB, cắt đoạn CH tại D. Chứng minh \(H{E^2} = HD.HC\).

c) Gọi I là trung điểm của CB. Các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE cắt nhau tại K. Chứng minh H, I, K thẳng hàng.
Câu 5 :

Cho ba số thực a, b, c khác 2 thỏa mãn a + b + c = 6. Tính giá trị của biểu thức:

\(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?

  • A
    \(3x - y = 0\).
  • B
    \(2y + 1 = 0\).
  • C
    \(4 + 0.x = 0\).
  • D
    \(3{x^2} = 8\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\).

Lời giải chi tiết :

Phương trình \(3x - y = 0\) là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương trình \(2y + 1 = 0\) là phương trình bậc nhất ẩn y với \(a = 2\) nên ta chọn đáp án B.

Phương trình \(4 + 0.x = 0\) có a = 0 nên không phải phương trình bậc nhất một ẩn.

Phương trình \(3{x^2} = 8\) là phương trình bậc hai.

Đáp án B.

Câu 2 :

Phương trình \(3x + m - x - 1 = 0\) nhận \(x =  - 3\) là nghiệm thì m là:

  • A
    \(m =  - 3\).
  • B
    \(m = 0\).
  • C
    \(m = 7\).
  • D
    \(m =  - 7\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay \(x =  - 3\) vào phương trình để tìm m.

Lời giải chi tiết :

Thay \(x =  - 3\) vào phương trình \(3x + m - x - 1 = 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}3.\left( { - 3} \right) + m - \left( { - 3} \right) - 1 = 0\\ - 9 + m + 3 - 1 = 0\\m - 7 = 0\\m = 7\end{array}\)

Đáp án C.

Câu 3 :

Một ô tô đi từ A đến B từ 6 giờ sáng, lúc 7 giờ sáng cùng ngày, một xe khách cũng đi từ A và tới B cùng lúc với ô tô. Vậy nếu gọi thời gian đi của xe khách là x ( giờ) thì thời gian đi của ô tô là:

  • A
    \(x + 1\) (giờ).
  • B
    \(x - 1\) (giờ).
  • C
    \(2x\) (giờ).
  • D
    \(x\) (giờ).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biểu diễn thời gian đi của ô tô theo x.

Lời giải chi tiết :

Vì ô tô đi từ A đến B lúc 6 giờ sáng còn xe khách đi từ A đến B lúc 7 giờ sáng và hai xe đến B cùng lúc nên thời gian ô tô đi từ A đến B là x + (7 – 6) = x + 1 (giờ)

Đáp án A.

Câu 4 :

Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương. Gọi x là tuổi của Phương năm nay vậy thì phương trình tìm x là

  • A
    \(3x + 13 = 2\left( {x + 13} \right)\).
  • B
    \(\frac{x}{3} + 13 = 2\left( {x + 13} \right)\).
  • C
    \(x + 13 = 2\left( {3x + 13} \right)\).
  • D
    \(3x = 2\left( {x + 13} \right)\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biểu diễn các đại lượng qua x.

Lời giải chi tiết :

Tuổi của Phương năm nay là x (tuổi)

Tuổi của mẹ Phương năm nay là 3x (tuổi)

Tuổi của Phương sau 13 năm là x + 13 (tuổi)

Tuổi của mẹ Phương sau 13 năm là 3x + 13 (tuổi)

Vì sau  năm tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình \(3x + 13 = 2\left( {x + 13} \right)\)

Đáp án A.

Câu 5 :

Cho công thức \(C = \frac{5}{9}\left( {F - 32} \right)\) với C = 10. Tính \(F\), ta được kết quả:

  • A
    \(F = 50\).
  • B
    \(F = 32\).
  • C
    \(F = 10\).
  • D
    \(F = 40\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Thay C = 10 để tìm F.

Lời giải chi tiết :

Thay C = 10 vào công thức, ta được:

\(\begin{array}{l}10 = \frac{5}{9}\left( {F - 32} \right)\\18 = F - 32\\F = 18 + 32\\F = 50\end{array}\)

Đáp án A.

Câu 6 :

Cho $\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ theo tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{2}\) thì tỉ số hai đường cao tương ứng là:

  • A
    \(\frac{1}{2}\).
  • B
    \(2\).
  • C
    \(1\).
  • D
    \(\frac{1}{4}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tỉ số đường cao bằng tỉ số đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ theo tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{2}\) nên tỉ số hai đường cao tương ứng cũng là \(\frac{1}{2}\).

Đáp án A.

Câu 7 :

Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF theo tỉ số đồng dạng là 2. Tam giác DEF đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số đồng dạng là 2. Biết \(\widehat A = {30^0}\), tính số đo \(\widehat M\)

  • A
    \(\widehat M = {30^0}\).
  • B
    \(\widehat M = {60^0}\).
  • C
    \(\widehat M = {120^0}\).
  • D
    \(\widehat M = {15^0}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ suy ra số đo góc M.

Lời giải chi tiết :

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ và $\Delta DEF\backsim \Delta MNP$ suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ suy ra \(\widehat M = \widehat A = {30^0}\).

Đáp án A.

Câu 8 :

Tam ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Biết chu vi tam giác MNP là 12cm, chu vi tam giác ABC là:

  • A
    18cm.
  • B
    24cm.
  • C
    30cm.
  • D
    36cm.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào hệ số tỉ lệ của hai tam giác để tính chu vi tam giác ABC.

Lời giải chi tiết :

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA nên $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ theo hệ số tỉ lệ là 2.

Do đó \({C_{\Delta ABC}} = 2{C_{\Delta MNP}} = 2.12 = 24\left( {cm} \right)\).

Đáp án B.

Câu 9 :

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trong các khẳng định sau đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?

(1) \(A{B^2} = BH.CH\)

(2) \(A{C^2} = CH.BC\)

(3) \(B{C^2} = AB.AC\)

  • A
    0.
  • B
    1.
  • C
    2.
  • D
    3.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xác định các tam giác đồng dạng suy ra tỉ số đồng dạng giữa các cạnh.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\Delta ABC\backsim \Delta HBA\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=BH.BC$ nên khẳng định (1) sai.

$\Delta ABC\backsim \Delta HAC\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{CH}{AC}\Rightarrow A{{C}^{2}}=CH.BC$ nên khẳng định (2) đúng.

Khẳng định (3) sai.

Vậy chỉ có 1 khẳng định đúng (khẳng định (2)).

Đáp án B.

Câu 10 :

Cho hình bình hành ABCD, kẻ \(AH \bot CD\) tại H; \(AK \bot BC\) tại K. Chọn câu trả lời đúng.

  • A
    \(\Delta HDA\backsim \Delta KAB\).
  • B
    \(\Delta ADH\backsim \Delta AKB\).
  • C
    \(\Delta KAB\backsim \Delta HAD\).
  • D
    \(\Delta BKA\backsim \Delta AHD\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào tính chất của hình bình hành và các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông để xác định.

Lời giải chi tiết :

Hình bình hành ABCD có \(\widehat B = \widehat D\)

Xét \(\Delta AHD\) và \(\Delta AKB\) có:

\(\widehat H = \widehat K\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\widehat B = \widehat D\)

suy ra \(\Delta AHD\backsim \Delta AKB\left( gg \right)\)

Các đỉnh tương ứng là: 2 đỉnh A, đỉnh D và đỉnh B, đỉnh H và đỉnh K nên đáp án C đúng.

Đáp án C.

Câu 11 :

Một mô hình ô tô dài 12cm. Thực tế ô tô dài 2,4m. Tỉ số đồng dạng của mô hình và vật thật là:

  • A
    \(\frac{1}{{20}}\).
  • B
    \(\frac{1}{{200}}\).
  • C
    \(\frac{1}{5}\).
  • D
    \(20\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tỉ số đồng dạng của mô hình và vật thật bằng tỉ số giữa độ dài của mô hình với vật thật.

Lời giải chi tiết :

Ta có: 2,4m = 240 cm

Vậy tỉ số đồng dạng của mô hình và vật thật là: \(\frac{{12}}{{240}} = \frac{1}{{20}}\).

Đáp án A.

Câu 12 :

Hình biểu diễn đúng tâm phối cảnh của cặp hình đồng dạng này là:

  • A
    Hình 1.
  • B
    Hình 2.
  • C
    Hình 3.
  • D
    Hình 4.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xác định đúng các đỉnh của hai hình để nối được tâm phối cảnh của hai hình bên.

Lời giải chi tiết :

Trong các hình trên, chỉ có hình 1 biểu diễn đúng tâm phối cảnh của cặp hình đồng dạng này.

Đáp án A.

II. Tự luận
Câu 1 :

Giải các phương trình sau:

a) \(x + 2 = - 6x + 16\)

b) \(2\left( {x - 3} \right) = 5\left( {x - 2} \right) + 8\)

c) \(\frac{{x - 1}}{9} + \frac{{x - 3}}{7} = 2\)

d) \(\frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3x - 2}}{2} = \frac{1}{6}\)
Phương pháp giải :

a, b) Đưa phương trình về dạng \(ax + b = 0\) để giải.

c, d) Quy đồng bỏ mẫu đưa phương trình về dạng \(ax + b = 0\) để giải.

Lời giải chi tiết :

a) \(x + 2 = - 6x + 16\)

\(\begin{array}{l}x + 6x = 16 - 2\\7x = 14\\x = 2\end{array}\)

Vậy \(x = 2\)

b) \(2\left( {x - 3} \right) = 5\left( {x - 2} \right) + 8\)

\(\begin{array}{l}2x - 6 = 5x - 10 + 8\\2x - 6 = 5x - 2\\2x - 5x =  - 2 + 6\\ - 3x = 4\\x =  - \frac{4}{3}\end{array}\)

Vậy \(x =  - \frac{4}{3}\)

c) \(\frac{{x - 1}}{9} + \frac{{x - 3}}{7} = 2\)

\(\begin{array}{l}\frac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{63}} + \frac{{9\left( {x - 3} \right)}}{{63}} = \frac{{2.63}}{{63}}\\7\left( {x - 1} \right) + 9\left( {x - 3} \right) = 2.63\\7x - 7 + 9x - 27 = 126\\7x + 9x = 126 + 27 + 7\\16x = 160\\x = 10\end{array}\)

Vậy \(x = 10\)

d) \(\frac{{2x + 1}}{3} + \frac{{3x - 2}}{2} = \frac{1}{6}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{6} + \frac{{3\left( {3x - 2} \right)}}{6} = \frac{1}{6}\\2\left( {2x + 1} \right) + 3\left( {3x - 2} \right) = 1\\4x + 2 + 9x - 6 = 1\\13x = 1 + 6 - 2\\13x = 5\\x = \frac{5}{{13}}\end{array}\)

Vậy \(x = \frac{5}{{13}}\)

Câu 2 :

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Tổ sản xuất được giao dệt một số thảm trong 20 ngày. Nhưng do tổ tăng năng suất 20% nên đã hoàn thành sau 18 ngày. Không những vậy mà tổ còn làm thêm được 24 chiếc thảm. Tính số thảm thực tế tổ sản xuất làm được.
Phương pháp giải :

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Gọi năng suất dự kiến của tổ sản suất là x (chiếc thảm) (\(x \in N*\)).

Biểu diễn năng suất thực tế và số thảm làm được theo x và lập phương trình.

Giải phương trình và kiểm tra nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Gọi năng suất của tổ sản suất là x (chiếc thảm) (\(x \in N*\)).

Khi đó năng suất thực tế của tổ là: \(x + 20\% x = 120\% x = 1,2x\)

Số thảm tổ cần dệt là: 20x (chiếc thảm)

Số thảm tổ làm được là: \(18.1,2x = 21,6x\).

Vì tổ còn làm thêm được 24 chiếc thảm so với số thảm được giao nên ta có phương trình:

\(20x + 24 = 21,6x\)

Giải phương trình ta được \(x = 15\)(TM)

Vậy số thảm thực tế tổ sản xuất làm được là: \(21,6.15 = 324\) chiếc thảm.

Câu 3 :

Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 5 m và 3 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm. Tính độ cao ℎ của điểm đó so với mặt đất.
Phương pháp giải :

- Theo đề bài vẽ lại hình và đặt tên các điểm.

- Chứng minh các tam giác đồng dạng và suy ra các tỉ số đồng dạng để tính độ cao của h.

Lời giải chi tiết :

Ta có: AB // CD nên \(\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\) và \(\widehat {ABD} = \widehat {CDB}\) (hai góc so le trong)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta CDE\) có:

\(\begin{array}{l}\widehat {BAC} = \widehat {DCA}\\\widehat {ABD} = \widehat {CDB}\end{array}\)

Suy ra $\Delta ABE\backsim \Delta CDE$ (gg)

Suy ra \(\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{CD}}{{AB}} = \frac{3}{5}\)

Suy ra \(\frac{{CE}}{{AC}} = \frac{3}{8}\)

Xét \(\Delta CFE\) và \(\Delta CBA\) có:

\(\widehat C\) chung

\(\widehat {ABC} = \widehat {EFC}\)

suy ra $\Delta CFE\backsim \Delta CBA$ (g.g)

suy ra \(\frac{{EF}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{AC}} = \frac{3}{8}\). Do đó \(EF = \frac{3}{8}.AB = \frac{3}{8}.5 = \frac{{15}}{8}\) (m)

Câu 4 :

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC)  có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$

b) Đường thẳng qua E song song với AB, cắt đoạn CH tại D. Chứng minh \(H{E^2} = HD.HC\).

c) Gọi I là trung điểm của CB. Các đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE cắt nhau tại K. Chứng minh H, I, K thẳng hàng.
Phương pháp giải :

a) Chứng minh $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh $\Delta HED\backsim \Delta HCE$ suy ra tỉ số đồng dạng, ta được điều phải chứng minh.

c) Chứng minh BHCK là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà I là trung diểm của BC nên I là trung điểm của HK hay H, I, K thẳng hàng.

Lời giải chi tiết :

a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\) có:

\(\widehat {BEA} = \widehat {CFA} = {90^0}\)

\(\widehat A\) chung

suy ra $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$ (g.g) (đpcm)

b) Ta có DE // AB nên \(\widehat {HED} = \widehat {ABE}\) (hai góc so le trong)

\(\widehat {ACF} = \widehat {ABE}\) (do $\Delta ABE\backsim \Delta ACF$)

suy ra \(\widehat {ACF} = \widehat {HED}\)

Xét \(\Delta HED\) và \(\Delta HCE\) có:

\(\widehat H\) chung

\(\widehat {ACF} = \widehat {HED}\)

suy ra $\Delta HED\backsim \Delta HCE$ (g.g)

suy ra \(\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HD}}{{HE}}\) hay \(H{E^2} = HD.HC\) (đpcm)

c) Xét tứ giác BHCK có:

BH // CK (gt)

BK // HC (gt)

suy ra BHCK là hình bình hành.

Suy ra BC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của BC nên I cũng là trung điểm của HK hay H, I, K thẳng hàng (đpcm).

Câu 5 :

Cho ba số thực a, b, c khác 2 thỏa mãn a + b + c = 6. Tính giá trị của biểu thức:

\(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)
Phương pháp giải :

Quy đồng mẫu các phân thức của biểu thức M.

Đặt a – 2 = x, b – 2 = y, c – 2 = z.

Thay vào M ta được \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}\).

Từ a + b + c = 6 suy ra x + y + z = 0

Biến đổi để tính M.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^3} + {{\left( {b - 2} \right)}^3} + {{\left( {c - 2} \right)}^3}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}}\)

Đặt a – 2 = x, b – 2 = y, c – 2 = z, biểu thức \(M\) trở thành:

\(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}\)

Mặt khác, từ a + b + c = 6 suy ra \(\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( {c - 2} \right) = 0\) hay \(x + y + z = 0\).

Suy ra

\(\begin{array}{l}x + y =  - z\\{\left( {x + y} \right)^3} = {\left( { - z} \right)^3}\\{x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) =  - {z^3}\\{x^3} + {y^3} + 3xy\left( { - z} \right) =  - {z^3}\\{x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\end{array}\)

Thay vào M ta được:

\(M = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3\)

Vậy \(M = 3\).

Bài liên quan
close