Đề thi học kì 1 Toán 8 - Đề số 1 - Cánh diều

Đề bài

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Thu gọn đa thức \(4{x^2}y + 6{x^3}{y^2} - 10{x^2}y + 4{x^3}{y^2}\) ta được

  • A
    \(14{x^2}y + 10{x^3}{y^2}\).
  • B
    \( - 14{x^2}y + 10{x^3}{y^2}\).
  • C
    \(6{x^2}y - 10{x^3}{y^2}\).
  • D
    \( - 6{x^2}y + 10{x^3}{y^2}\).
Câu 2 :

Giá trị của đa thức \(xy + 2{x^2}{y^3} - {x^4}y\) tại x = y = -1 là :

  • A
    3.
  • B
    1.
  • C
    -1.
  • D
    0.
Quảng cáo
decumar
Câu 3 :
Con hãy ghép đáp án ở cột A với đáp án tương ứng ở cột B

Ghép mỗi ý ở cột A với mỗi ý ở cột B để được kết quả đúng.

1. \(\frac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\)

2. \(\frac{{{x^2} - \;2}}{{x{{(x - 1)}^2}}}\) + \(\frac{{2\; - \;x}}{{x{{(x - 1)}^2}}}\)

3. \(\frac{{25{x^2}}}{{17{y^4}}}\;.\;\frac{{34{y^5}}}{{15{x^3}}}\)

4. \(\frac{{{x^2} + \;8x\; + \;15}}{{{x^2} - \;9}}\) = \(\frac{{ \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..}}{{x\; - \;3}}\) 

a. \(\frac{{10y}}{{3x}}\)

b. \(\frac{{2{y^4}}}{{3x\left( {2x - 3y} \right)}}\)

c. x + 5

d. \(\frac{1}{{x - 1}}\)

Câu 4 :

Tam giác ABC có đường trung tuyến AM = 2cm; cạnh BC = 4 cm. khi đó:

  • A
    Tam giác ABC vuông tại A
  • B
    Tam giác ABC vuông tại B
  • C
    Tam giác ABC vuông tại C
  • D
    Cả 3 câu trên đều sai
Câu 5 :

Một tứ giác có nhiều nhất :

  • A
    1 góc nhọn.
  • B
    2 góc nhọn
  • C
    3 góc nhọn
  • D
    4 góc nhọn
Câu 6 :

Hình bình hành là một tứ giác có:

  • A
    Hai đường chéo bằng nhau.
  • B
    Hai đường chéo vuông góc.
  • C
    Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
  • D
    Hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.
Câu 7 :

Một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm và 8cm thì độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là:

  • A
    3 cm                            
  • B
    2,4 cm     
  • C
    4,8 cm
  • D
    5 cm
Câu 8 :

Cho hình chóp S.ABCD đều có thể tích bằng 100cm\(^3\), chiều cao SO bằng 12cm. Độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đó là :

  • A
    4cm
  • B
    5cm
  • C
    6cm
  • D
    7cm
Câu 9 :

Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 5cm, độ dài trung đoạn của hình chóp là 6cm. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là :

  • A
    40 cm\(^2\).        
  • B
    36 cm\(^2\).
  • C
    45 cm\(^2\).
  • D
    50 cm\(^2\).
Câu 10 :

Cho hàm số \(y = f(x) =  - {x^2} + 2.\) Tính \(f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right);f\left( 0 \right)\) .

  • A
    \(f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = 0;f\left( 0 \right) = \frac{7}{4}\)
  • B
    \(f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = \frac{7}{4};f\left( 0 \right) = 2\)
  • C
    \(f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = \frac{{ - 7}}{4};f\left( 0 \right) = 2\)
  • D
    \(f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = \frac{7}{4};f\left( 0 \right) =  - 2\)
Câu 11 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ, tọa độ điểm Q là :

  • A
    Q(0; -2)
  • B
    Q(1; -2)                      
  • C
    Q(0;2)
  • D
    Q(-2;0)
Câu 12 :

Một cửa hàng gạo nhập vào kho 480 tấn. Mỗi ngày bán đi 20 tấn. Gọi y (tấn) là số gạo còn lại sau x (ngày) bán. Công thức biểu diễn y theo x là :

  • A
    \(y =  - 20x + 480\).
  • B
    \(y = 20x + 480\).  
  • C
    \(y =  - 480x - 20\).   
  • D
    \(y =  - 480x + 2\).
II. Tự luận
Câu 1 :

a) Rút gọn biểu thức \(\frac{{{x^2} + 3xy + \;2{y^2}}}{{{x^3} + \;2{x^2}y - \;x{y^2} - \;2{y^3}}}\) rồi tính giá trị của biểu thức tại x = 5 và y = 3.

b) Phân tích đa thức 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 thành nhân tử.

Câu 2 :

Cho biểu thức \(\frac{{{x^2} + \;4x\; + \;4}}{{{x^3} + \;2{x^2} - 4x - 8}}\) (x \( \ne \) \( \pm \) 2)

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tìm x \( \in \) Z để A là số nguyên.

Câu 3 :

Cho tam giác ABC như hình bên dưới.

a) Xác định tọa độ các điểm A, B, C.

b) Tam giác ABC có là tam giác vuông cân hay không ?

c) Xác định tọa độ điểm D để tứ giác ABDC là hình vuông.

Quảng cáo
decumar
Câu 4 :

1. Nhà bạn An (vị trí A trên hình vẽ) cách nhà bạn Châu (vị trí C trên hình vẽ) 600m và cách nhà bạn Bình (vị trí B trên hình vẽ) 450m. Biết rằng 3 vị trí: nhà An, nhà Bình và nhà Châu là 3 đỉnh của một tam giác vuông (xem hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ nhà Bình đến nhà Châu.

2. Cho hình thang cân ABCD có DC = 2AB. Gọi M là trung điểm của cạnh DC, N là điểm đối xứng với A qua DC.

a) Chứng minh: Tứ giác ABCM là hình bình hành.

b) Chứng minh: Tứ giác AMND là hình thoi.

c) Khi tứ giác AMND là hình vuông thì góc ABC bằng bao nhiêu?

Câu 5 :

Cho các số x, y thoả mãn đẳng thức \(5{x^2} + 5{y^2} + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0\).

Tính giá trị của biểu thức M = \({(x + y)^{2017}} + {(x - 2)^{2018}} + {(y + 1)^{2019}}\)

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Thu gọn đa thức \(4{x^2}y + 6{x^3}{y^2} - 10{x^2}y + 4{x^3}{y^2}\) ta được

  • A
    \(14{x^2}y + 10{x^3}{y^2}\).
  • B
    \( - 14{x^2}y + 10{x^3}{y^2}\).
  • C
    \(6{x^2}y - 10{x^3}{y^2}\).
  • D
    \( - 6{x^2}y + 10{x^3}{y^2}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tính với đa thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\begin{array}{l}4{x^2}y + 6{x^3}{y^2} - 10{x^2}y + 4{x^3}{y^2}\\ = \left( {4{x^2}y - 10{x^2}y} \right) + \left( {6{x^3}{y^2} + 4{x^3}{y^2}} \right)\\ = - 6{x^2}y + 10{x^3}{y^2}\end{array}\)

Câu 2 :

Giá trị của đa thức \(xy + 2{x^2}{y^3} - {x^4}y\) tại x = y = -1 là :

  • A
    3.
  • B
    1.
  • C
    -1.
  • D
    0.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Thay x = y = -1 vào đa thức rồi tính toán.

Lời giải chi tiết :

Thay x = y = -1 vào đa thức \(xy + 2{x^2}{y^2} - {x^4}y\) ta được

\(\begin{array}{l}\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2{\left( { - 1} \right)^2}.{\left( { - 1} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^4}\left( { - 1} \right)\\ = 1 - 2 + 1 = 0\end{array}\)

Câu 3 :
Con hãy ghép đáp án ở cột A với đáp án tương ứng ở cột B

Ghép mỗi ý ở cột A với mỗi ý ở cột B để được kết quả đúng.

1. \(\frac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\)

2. \(\frac{{{x^2} - \;2}}{{x{{(x - 1)}^2}}}\) + \(\frac{{2\; - \;x}}{{x{{(x - 1)}^2}}}\)

3. \(\frac{{25{x^2}}}{{17{y^4}}}\;.\;\frac{{34{y^5}}}{{15{x^3}}}\)

4. \(\frac{{{x^2} + \;8x\; + \;15}}{{{x^2} - \;9}}\) = \(\frac{{ \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..}}{{x\; - \;3}}\) 

a. \(\frac{{10y}}{{3x}}\)

b. \(\frac{{2{y^4}}}{{3x\left( {2x - 3y} \right)}}\)

c. x + 5

d. \(\frac{1}{{x - 1}}\)

Đáp án

1. \(\frac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\)

b. \(\frac{{2{y^4}}}{{3x\left( {2x - 3y} \right)}}\)

2. \(\frac{{{x^2} - \;2}}{{x{{(x - 1)}^2}}}\) + \(\frac{{2\; - \;x}}{{x{{(x - 1)}^2}}}\)

d. \(\frac{1}{{x - 1}}\)

3. \(\frac{{25{x^2}}}{{17{y^4}}}\;.\;\frac{{34{y^5}}}{{15{x^3}}}\)

a. \(\frac{{10y}}{{3x}}\)

4. \(\frac{{{x^2} + \;8x\; + \;15}}{{{x^2} - \;9}}\) = \(\frac{{ \ldots  \ldots  \ldots  \ldots ..}}{{x\; - \;3}}\) 

c. x + 5

Phương pháp giải :

Sử dụng các phép tính với phân thức đại số để tìm kết quả đúng.

Lời giải chi tiết :
  1. \(\frac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}} = \frac{{2{y^4}}}{{3x\left( {2x - 3y} \right)}} \Rightarrow \)1 – b.
  2. \(\;\frac{{{x^2} - \;2}}{{x{{(x - 1)}^2}}} + \;\frac{{2\; - \;x}}{{x{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2 + 2 - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 1}} \Rightarrow \) 2 – d.
  3. \(\frac{{25{x^2}}}{{17{y^4}}}\;.\;\frac{{34{y^5}}}{{15{x^3}}} = \frac{{25{x^2}.34{y^5}}}{{17{y^4}.15{x^3}}} = \frac{{5.2y}}{{3x}} = \frac{{10y}}{{3y}} \Rightarrow \) 3 – a.
  4. \(\frac{{{x^2} + \;8x\; + \;15}}{{{x^2} - \;9}} = \frac{{{x^2} + 3x + 5x + 15}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right) + 5\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x + 5}}{{x - 3}} \Rightarrow ... = x + 5 \Rightarrow \)4 – c.

Đáp án: 1 – b; 2 – d; 3 – a; 4 – c.

Câu 4 :

Tam giác ABC có đường trung tuyến AM = 2cm; cạnh BC = 4 cm. khi đó:

  • A
    Tam giác ABC vuông tại A
  • B
    Tam giác ABC vuông tại B
  • C
    Tam giác ABC vuông tại C
  • D
    Cả 3 câu trên đều sai

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Ta có: AM = 2cm; BC = 4cm \( \Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC\). Mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC hay tam giác ABC vuông tại A.

Câu 5 :

Một tứ giác có nhiều nhất :

  • A
    1 góc nhọn.
  • B
    2 góc nhọn
  • C
    3 góc nhọn
  • D
    4 góc nhọn

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí tổng các góc của một tứ giác bằng \(360^0\).

Lời giải chi tiết :

- Nếu 4 góc trong tứ giác đều nhọn (nhỏ hơn \(90^0\)) => Tổng 4 góc < \(4.90^0\) = \(360^0\) => Vô lí vì tổng 4 góc trong tứ giác bằng \(360^0\).

- Nếu có 3 góc nhỏ hơn \(90^0\) ; 1 góc > \(90^0\) => Tổng 3 góc đó < 3.\(90^0\) = \(270^0\) => góc còn lại lớn hơn \(360^0- 270^0 = 90^0\) (thỏa mãn)

Vậy tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn.

Câu 6 :

Hình bình hành là một tứ giác có:

  • A
    Hai đường chéo bằng nhau.
  • B
    Hai đường chéo vuông góc.
  • C
    Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
  • D
    Hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Ta sử dụng kiến thức về hình bình hành.

Lời giải chi tiết :

Hình bình hành là một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên C đúng.

Câu 7 :

Một tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm và 8cm thì độ dài đường cao ứng với cạnh huyền là:

  • A
    3 cm                            
  • B
    2,4 cm     
  • C
    4,8 cm
  • D
    5 cm

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lí Pythagore và công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết :

Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm và 8cm thì độ dài cạnh huyền BC là: \(BC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 10\) (cm).

Theo công thức tính diện tích tam giác, ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\)

=> AB.AC = AH.BC

6.8 = AH.10

48 = AH.10

AH = 48:10 = 4,8 (cm).

Câu 8 :

Cho hình chóp S.ABCD đều có thể tích bằng 100cm\(^3\), chiều cao SO bằng 12cm. Độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đó là :

  • A
    4cm
  • B
    5cm
  • C
    6cm
  • D
    7cm

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào công thức tính thể tích hình chóp tứ giác để tính độ dài cạnh đáy của hình chóp đó.

Lời giải chi tiết :

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có V = 100cm3, đường cao SH = 12cm.

Ta có \(V = \frac{1}{3}{S_d}.h \Rightarrow {S_d} = \frac{{3V}}{h}\)

\({S_d} = \frac{{3.100}}{{12}} = 25\).

Vì đáy hình chóp là hình vuông nên độ dài cạnh đáy là \(\sqrt {25}  = 5\left( {cm} \right)\).

Câu 9 :

Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy là 5cm, độ dài trung đoạn của hình chóp là 6cm. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là :

  • A
    40 cm\(^2\).        
  • B
    36 cm\(^2\).
  • C
    45 cm\(^2\).
  • D
    50 cm\(^2\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng khái niệm đường trung bình.

Lời giải chi tiết :

Nửa chu vi đáy là: p = \(\frac{{5 + 5 + 5}}{2} = 7,5\) (cm)

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là:

\({S_{xq}} = p.d = 7,5.6 = 45\) (cm\(^2\)).

Câu 10 :

Cho hàm số \(y = f(x) =  - {x^2} + 2.\) Tính \(f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right);f\left( 0 \right)\) .

  • A
    \(f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = 0;f\left( 0 \right) = \frac{7}{4}\)
  • B
    \(f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = \frac{7}{4};f\left( 0 \right) = 2\)
  • C
    \(f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = \frac{{ - 7}}{4};f\left( 0 \right) = 2\)
  • D
    \(f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) = \frac{7}{4};f\left( 0 \right) =  - 2\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) và x = 0 vào hàm số để tính giá trị.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) =  - {\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2} + 2 =  - \frac{1}{4} + 2 = \frac{7}{4}\\f\left( 0 \right) =  - {0^2} + 2 = 2\end{array}\)

Câu 11 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ, tọa độ điểm Q là :

  • A
    Q(0; -2)
  • B
    Q(1; -2)                      
  • C
    Q(0;2)
  • D
    Q(-2;0)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Quan sát đồ thị để xác định tọa độ điểm Q.

Lời giải chi tiết :

Điểm Q thuộc trục tung nên có hoành độ bằng 0 và hình chiếu của điểm Q trên trục tung là -2 nên \(Q\left( {0; - 2} \right)\).

Câu 12 :

Một cửa hàng gạo nhập vào kho 480 tấn. Mỗi ngày bán đi 20 tấn. Gọi y (tấn) là số gạo còn lại sau x (ngày) bán. Công thức biểu diễn y theo x là :

  • A
    \(y =  - 20x + 480\).
  • B
    \(y = 20x + 480\).  
  • C
    \(y =  - 480x - 20\).   
  • D
    \(y =  - 480x + 2\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biểu diễn y theo x.

Lời giải chi tiết :

Số gạo ban đầu là 480 tấn.

Mỗi ngày của hàng bán được 20 tấn thì x ngày cửa hạng bán được 20.x (tấn).

=> Sau x ngày bán, cửa hàng còn lại: 480 – 20x (tấn).

Vậy ta có công thức biểu diễn y theo x là: y = 480 – 20x.

II. Tự luận
Câu 1 :

a) Rút gọn biểu thức \(\frac{{{x^2} + 3xy + \;2{y^2}}}{{{x^3} + \;2{x^2}y - \;x{y^2} - \;2{y^3}}}\) rồi tính giá trị của biểu thức tại x = 5 và y = 3.

b) Phân tích đa thức 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 thành nhân tử.

Phương pháp giải :

a) Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để rút gọn biểu thức.

Thay x = 5 và y = 3 vào biểu thức để tính giá trị của biểu thức.

b) Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

a) \(\frac{{{x^2} + 3xy + \;2{y^2}}}{{{x^3} + \;2{x^2}y - \;x{y^2} - \;2{y^3}}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}}}{{{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}}\\ = \frac{{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 2y} \right) - {y^2}\left( {x - 2y} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{x + y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{1}{{x - y}}\end{array}\)

Điều kiện để \(\frac{1}{{x - y}}\) xác định là \(x - y \ne 0 \Leftrightarrow x \ne y\).

Tại x = 5 và y = 3 (thỏa mãn điều kiện) thì giá trị của biểu thức \(\frac{1}{{x - y}}\) là: \(\frac{1}{{5 - 3}} = \frac{1}{2}\).

Vậy tại x = 5 và y = 3 thì giá trị của biểu thức \(\frac{{{x^2} + 3xy + \;2{y^2}}}{{{x^3} + \;2{x^2}y - \;x{y^2} - \;2{y^3}}}\) là \(\frac{1}{2}\).

b) Phân tích \(2x - 2y - {x^2} + 2xy - {y^2}\)thành nhân tử, ta được:

\(\begin{array}{l}2x - 2y - {x^2} + 2xy - {y^2}\\ = \left( {2x - 2y} \right) - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\\ = 2\left( {x - y} \right) - {\left( {x - y} \right)^2}\\ = \left( {x - y} \right)\left( {2 - x + y} \right)\end{array}\)

Câu 2 :

Cho biểu thức \(\frac{{{x^2} + \;4x\; + \;4}}{{{x^3} + \;2{x^2} - 4x - 8}}\) (x \( \ne \) \( \pm \) 2)

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tìm x \( \in \) Z để A là số nguyên.

Phương pháp giải :

a) Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để rút gọn biểu thức.

b) Để A là số nguyên thì mẫu thức phải là ước của tử thức.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} + \;4x\; + \;4}}{{{x^3} + \;2{x^2} - 4x - 8}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2}\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{1}{{x - 2}}\end{array}\)

b) Để A là số nguyên thì \(\frac{1}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\) thì \(x - 2 \in \) Ư(1) \( \Rightarrow x - 2 \in \left\{ { \pm 1} \right\}\).

Ta có: x – 2 = 1 \( \Rightarrow \) x = 3 (thỏa mãn điều kiện)

x – 2 = -1 \( \Rightarrow \) x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy A là số nguyên khi \(x \in \left\{ {1;3} \right\}\).

Câu 3 :

Cho tam giác ABC như hình bên dưới.

a) Xác định tọa độ các điểm A, B, C.

b) Tam giác ABC có là tam giác vuông cân hay không ?

c) Xác định tọa độ điểm D để tứ giác ABDC là hình vuông.

Phương pháp giải :

a) Quan sát đồ thị để xác định tọa độ của các điểm.

b) Chứng minh AB \( \bot \) AC và AB = AC.

c) Để ABDC là hình vuông thì \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD} = {90^0}\) và \(AB = BC = CD = DA\).

Lời giải chi tiết :

a) Hình chiếu của điểm A trên trục hoành là -3 và trên trục tung là 1. Do đó tọa độ của điểm A là \(A\left( { - 3;1} \right)\).

Hình chiếu của điểm B trên trục hoành là -1 và trên trục tung là 1. Do đó tọa độ của điểm A là \(B\left( { - 1;1} \right)\).

Hình chiếu của điểm C trên trục hoành là -3 và trên trục tung là 3. Do đó tọa độ của điểm A là \(C\left( { - 3;3} \right)\).

Vậy tọa độ của các điểm là: \(A\left( { - 3;1} \right)\); \(B\left( { - 1;1} \right)\); \(C\left( { - 3;3} \right)\).

b) Quan sát hình vẽ, ta thấy

\(\left. \begin{array}{l}AB//Ox\\AC//Oy\\Ox \bot Oy\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot AC \Rightarrow \widehat A = {90^0}\)

Mà AB = AC (= 2)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại A.

c) Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại A nên để ABDC là hình vuông thì \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD} = {90^0}\) và AB = BC = CD = DA hay \(AC \bot CD;AB \bot BD\).

Qua điểm C kẻ đường thẳng vuông góc với Oy.

Qua điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với Ox.

Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm D.

CD cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

BD cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1.

=> Tọa độ điểm D là \(D\left( { - 1;3} \right)\).

Vậy để ABDC là hình vuông thì \(D\left( { - 1;3} \right)\).

Câu 4 :

1. Nhà bạn An (vị trí A trên hình vẽ) cách nhà bạn Châu (vị trí C trên hình vẽ) 600m và cách nhà bạn Bình (vị trí B trên hình vẽ) 450m. Biết rằng 3 vị trí: nhà An, nhà Bình và nhà Châu là 3 đỉnh của một tam giác vuông (xem hình vẽ). Hãy tính khoảng cách từ nhà Bình đến nhà Châu.

2. Cho hình thang cân ABCD có DC = 2AB. Gọi M là trung điểm của cạnh DC, N là điểm đối xứng với A qua DC.

a) Chứng minh: Tứ giác ABCM là hình bình hành.

b) Chứng minh: Tứ giác AMND là hình thoi.

c) Khi tứ giác AMND là hình vuông thì góc ABC bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải :

1. Sử dụng định lí Pythagore.

2. 

a) Chứng minh tứ giác ABCM có cặp cạnh song song và bằng nhau.

b) Chứng minh AMND là hình bình hành có một góc vuông.

c) Khi tứ giác AMND là hình vuông suy ra các góc tương ứng để tính số đo góc ABC.

Lời giải chi tiết :

1. Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có

BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pythagore)        

BC2 = 4502 + 6002                                                       

BC2 =  562500

=> BC = 750m         

Khoảng cách từ thành phố B đến trạm phát sóng là 750 m

2.

a) Ta có: AB = CM (\( = \frac{1}{2}\)CD) và AB // CM (M \( \in \) CD) nên ABCM là hình bình hành. (đpcm)

b) Ta có AM = BC (ABCM là hình bình hành)

Mà AD = BC (ABCD là hình thang cân)

=> AM = AD. (1)

Xét tam giác ADH và NDH có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AH = NH\\\widehat {AHD} = \widehat {NHD} = {90^0}\\DH\,chung\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ADH = \Delta NDH(c.g.c)\)

\( \Rightarrow AD = DN\) (hai cạnh tương ứng). (2)

Tương tự, ta chứng minh được AM = MN. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AM = MN = DN = AD => tứ giác AMND là hình thoi. (đpcm)

c) Khi AMND là hình vuông thì \(\widehat {ADN} = {90^0}\). Trong hình vuông AMND, đường chéo DM là tia phân giác của góc ADN nên \(\widehat {ADM} = \widehat {MDN} = \frac{{{{90}^0}}}{2} = {45^0}\).

Góc BAD và góc ADC là hai góc kề một cạnh bên của hình thang ABCD nên \(\widehat {BAD} + \widehat {ADC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {180^0} - {45^0} = {135^0}\).

Mà ABCD là hình thang cân nên \(\widehat {BAD} = \widehat {ABC} = {135^0}\). (đpcm)

Câu 5 :

Cho các số x, y thoả mãn đẳng thức \(5{x^2} + 5{y^2} + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0\).

Tính giá trị của biểu thức M = \({(x + y)^{2017}} + {(x - 2)^{2018}} + {(y + 1)^{2019}}\)

Phương pháp giải :

Dựa vào hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\); \({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\) để tìm x, y.

Thay x, y vào biểu thức M để tính giá trị của biểu thức M.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\begin{array}{l}5{x^2} + 5{y^2} + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0\\\left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + ({x^2} - 2x + 1) + ({y^2} + 2y + 1) = 0\\4{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x-1} \right)^2} + {(y + 1)^2} = 0\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(4{\left( {x + y} \right)^2} \ge 0;{\left( {x-1} \right)^2} \ge 0;{(y + 1)^2} \ge \;0\) với mọi x, y

Nên (*) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - y\\x = 1\\y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\).

Thay x = 1 và y = -1 vào biểu thức M, ta được:

\(M = {(1 - 1)^{2017}} + {(1 - 2)^{2018}} + {( - 1 + 1)^{2019}} = {\left( { - 1} \right)^{2018}} = 1\) .

Vậy M = 1 .

close