Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 6 - Kết nối tri thứcTổng hợp đề thi học kì 1 lớp 8 tất cả các môn - Kết nối tri thức Toán - Văn - Anh - Khoa học tự nhiên Phần trắc nghiệm (3 điểm) Câu 1: Biểu thức nào dưới đây là phân thức đại số?Đề bài
I. Trắc nghiệm
Câu 1 :
Biểu thức nào dưới đây là phân thức đại số?
Câu 2 :
Số phát biểu đúng trong các câu sau: (i) Phân thức đại số là biểu thức có dạng \(\frac{P}{Q}\) với \(Q\) và \(P\) là những đa thức. (ii) Nếu hai phân thức bằng nhau \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\) thì \(A \cdot D = B \cdot C\) (iii) Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
Câu 3 :
Cho $\Delta ABC\backsim \Delta {A}'{B}'{C}'$, biết \(\widehat A = {60^0},\widehat {B'} = {50^0}\). Khi đó:
Câu 4 :
Cho hình thang \({\rm{ABCD}}\left( {AB\parallel CD} \right)\) có \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC},AB = 2{\rm{\;cm}},BD = \sqrt 5 \), ta có:
Câu 5 :
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?
Câu 6 :
Cho \(\Delta ABC\) và \(\Delta XYZ\) đồng dạng. \(A\) tương ứng với \(X,B\) tương ứng với \(Y.B\) biết \(AB = 3\), \({\rm{BC}} = 4\) và \({\rm{XY}} = 5\). Tính \({\rm{YZ}}\) ?
Câu 7 :
Một người đi ô tô từ \(A\) đến \(B\) với tốc độ \(45{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\). Khi đến \(B\), người đó nghỉ 30 phút rồi quay về \(A\) với tốc độ \(40{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\). Tính quãng đường \(AB\), biết tổng thời gian đi, thời gian về và thời gian nghỉ là 4 giờ 45 phút.
Câu 8 :
Giải phương trình sau \(\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} = x + 2\) ta được:
Câu 9 :
Tìm phân thức đối của kết quả phép chia \(\frac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}}:\frac{{x + 5}}{{x - 2}}\) sau khi thu gọn.
Câu 10 :
Để đo khoảng cách giữa hai địa điểm \({\rm{D}}\), \({\rm{E}}\) ở hai bên bờ của một con sông, người ta chọn các vị trí \({\rm{A}}, {\rm{B}}, {\rm{C}}\) ở cùng một bên bờ với điểm \(D\) và đo được \(AB = 2{\rm{\;m}},AC = 3{\rm{\;m}},CD = 15{\rm{\;m}}\). Giả sử $\Delta ABC\backsim \Delta DEC$. Tính khoảng cách \(DE\).
II. Tự luận
Lời giải và đáp án
I. Trắc nghiệm
Câu 1 :
Biểu thức nào dưới đây là phân thức đại số?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Sử dụng khái niệm về phân thức đại số. Nhớ lại định nghĩa về đa thức, đơn thức. Lời giải chi tiết :
\(\frac{{x + y}}{{\sqrt {7z} }}\) không là phân thức vì mẫu số không là đa thức \(\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2}}{{xz - y}}\) là phân thức vì cả tử và mẫu số là đa thức với mẫu thức khác 0. \(\frac{{5{x^2}}}{{\frac{1}{z}}}\) không là phân thức vì mẫu số không là đa thức. \(\frac{{{x^2} + 2\sqrt x - 9}}{{0.yz}}\) không là đa thức vì mẫu số bằng 0. Đáp án B.
Câu 2 :
Số phát biểu đúng trong các câu sau: (i) Phân thức đại số là biểu thức có dạng \(\frac{P}{Q}\) với \(Q\) và \(P\) là những đa thức. (ii) Nếu hai phân thức bằng nhau \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\) thì \(A \cdot D = B \cdot C\) (iii) Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Dựa vào khái niệm phân thức, hai phân thức bằng nhau và tính chất cơ bản của phân thức. Lời giải chi tiết :
Phân thức đại số là biểu thức có dạng \(\frac{P}{Q}\) với \(Q\) và \(P\) là những đa thức, \(Q \ne 0\) Nếu hai phân thức bằng nhau \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\) thì \(A \cdot D = B \cdot C\) Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Đáp án B.
Câu 3 :
Cho $\Delta ABC\backsim \Delta {A}'{B}'{C}'$, biết \(\widehat A = {60^0},\widehat {B'} = {50^0}\). Khi đó:
Đáp án : C Phương pháp giải :
Hai tam giác đồng dạng thì hai tam giác có tất cả các cặp góc tương ứng bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ. Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác bằng \({180^0}\) Lời giải chi tiết :
Vì $\Delta ABC\backsim \Delta {A}'{B}'{C}'$ nên $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \widehat{A}=\widehat{A'}={{60}^{0}} \\ \widehat{B}=\widehat{B'}={{60}^{0}} \\ \widehat{C}=\widehat{C'} \\ \end{array} \right.$ Suy ra \(\widehat C = \widehat {C'} = {180^0} - \widehat {A'} - \widehat {B'} = {180^0} - {60^0} - {50^0} = {70^0}\) Đáp án C.
Câu 4 :
Cho hình thang \({\rm{ABCD}}\left( {AB\parallel CD} \right)\) có \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC},AB = 2{\rm{\;cm}},BD = \sqrt 5 \), ta có:
Đáp án : D Phương pháp giải :
TH đồng dạng g-g: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau. Suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ. Lời giải chi tiết :
Vì \(AB\parallel CD\) nên: \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (cặp góc so le trong) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta BCD\) ta có: \(\begin{array}{l}\widehat {ABD} = \widehat {BDC}{\rm{(}}cmt{\rm{)}}\\\widehat {ADB} = \widehat {BCD}{\rm{\;(theo\;gt)}}\end{array}\) Suy ra $\Delta ADB\backsim \Delta BCD\left( g-g \right)$ Do đó \(\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{DB}}{{CD}}\) \(\begin{array}{l}\frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{{CD}}\\CD = \frac{{\sqrt 5 \cdot \sqrt 5 }}{2} = \frac{5}{2} = 2,5{\rm{\;cm}}\end{array}\) Đáp án D.
Câu 5 :
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn?
Đáp án : B Phương pháp giải :
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\left( {a \ne 0} \right)\) Lời giải chi tiết :
\(7{\rm{x}} - 9 = 0\) là phương trình bậc nhất một ẩn Đáp án B.
Câu 6 :
Cho \(\Delta ABC\) và \(\Delta XYZ\) đồng dạng. \(A\) tương ứng với \(X,B\) tương ứng với \(Y.B\) biết \(AB = 3\), \({\rm{BC}} = 4\) và \({\rm{XY}} = 5\). Tính \({\rm{YZ}}\) ?
Đáp án : D Phương pháp giải :
Từ cặp tam giác đồng dạng tìm ra tỉ lệ thức phù hợp, từ đó tìm ra độ dài của \(YZ\). Lời giải chi tiết :
Theo bài ta có: $\Delta ABC\backsim \Delta XYZ$ suy ra \(\begin{array}{l}\frac{{AB}}{{XY}} = \frac{{BC}}{{YZ}}\\\frac{3}{5} = \frac{4}{{YZ}}\end{array}\) Suy ra \(YZ = \frac{{5.4}}{3} = \frac{{20}}{3} = 6\frac{2}{3}\) Đáp án D.
Câu 7 :
Một người đi ô tô từ \(A\) đến \(B\) với tốc độ \(45{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\). Khi đến \(B\), người đó nghỉ 30 phút rồi quay về \(A\) với tốc độ \(40{\rm{\;km}}/{\rm{h}}\). Tính quãng đường \(AB\), biết tổng thời gian đi, thời gian về và thời gian nghỉ là 4 giờ 45 phút.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Bước 1. Lập phương trình.
Bước 3. Trả lời. Lời giải chi tiết :
Đổi: 4 giờ 45 phút \( = \frac{{19}}{4}\) giờ; 30 phút \( = \frac{1}{2}\) giờ. Gọi quãng đường \({\rm{AB}}\) là \({\rm{x}}\left( {{\rm{km}}} \right)\). Điều kiện: \({\rm{x}} > 0\). Thời gian ô tô đi từ \(A\) đến \(B\) là: \(\frac{x}{{45}}\) (giờ). Thời gian ô tô đi từ \({\rm{B}}\) về \({\rm{A}}\) là: \(\frac{{\rm{x}}}{{40}}\) (giờ). Vi tổng thời gian đi, thời gian về và thời gian nghỉ là 4 giờ 45 phút nên ta có \({\rm{PT}}\): \(\begin{array}{l}\frac{x}{{45}} + \frac{x}{{40}} + \frac{1}{2} = \frac{{19}}{4}\\\frac{{8x}}{{360}} + \frac{{9x}}{{360}} = \frac{{19}}{4} - \frac{1}{2}\\\frac{{17x}}{{360}} = \frac{{17}}{4}\\x = 90\left( {TM} \right)\end{array}\) Vậy quãng đường \({\rm{AB}}\) dài \(90{\rm{\;km}}\). Đáp án B.
Câu 8 :
Giải phương trình sau \(\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} = x + 2\) ta được:
Đáp án : B Phương pháp giải :
- Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (Quy tắc chuyển vế); - Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 (Quy tắc nhân với một số); - Chia hai vế cho cùng một số khác 0 (Quy tắc chia cho một số). Lời giải chi tiết :
\(\frac{1}{3}x + \frac{1}{2} = x + 2\) \(\frac{1}{3}x - x = 2 - \frac{1}{2}\) \(\frac{{ - 2}}{3}x = \frac{3}{2}\) \(x = \frac{3}{2} \cdot \frac{{ - 3}}{2}\) \(x = \frac{{ - 9}}{4}\) Đáp án B.
Câu 9 :
Tìm phân thức đối của kết quả phép chia \(\frac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}}:\frac{{x + 5}}{{x - 2}}\) sau khi thu gọn.
Đáp án : B Phương pháp giải :
Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức \(\frac{C}{D}\) khác 0 , ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\) \(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}\) Phân thức đối của phân thức \(\frac{A}{B}\) kí hiệu là \( - \frac{A}{B}\) Lời giải chi tiết :
\(\frac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}}:\frac{{x + 5}}{{x - 2}} = \frac{{3x + 15}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x - 2}}{{x + 5}} = \frac{{3\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \cdot \frac{{x - 2}}{{x + 5}} = \frac{3}{{x + 2}}\) Phân thức đối của \(\frac{3}{{x + 2}}\) là \( - \frac{3}{{x + 2}}\) Đáp án B.
Câu 10 :
Để đo khoảng cách giữa hai địa điểm \({\rm{D}}\), \({\rm{E}}\) ở hai bên bờ của một con sông, người ta chọn các vị trí \({\rm{A}}, {\rm{B}}, {\rm{C}}\) ở cùng một bên bờ với điểm \(D\) và đo được \(AB = 2{\rm{\;m}},AC = 3{\rm{\;m}},CD = 15{\rm{\;m}}\). Giả sử $\Delta ABC\backsim \Delta DEC$. Tính khoảng cách \(DE\).
Đáp án : B Phương pháp giải :
Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta {A}'{B}'{C}'$, ta có tỉ số các cạnh tương ứng \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{C'A'}}{{CA}} = k\) gọi là tỉ số đồng dạng. Lời giải chi tiết :
Vì $\Delta ABC\backsim \Delta DEC$ suy ra \(\begin{array}{l}\frac{2}{3} = \frac{{DE}}{{15}}\\DE = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10{\rm{\;m}}\end{array}\) Vậy \(DE = 10{\rm{\;m}}\) Đáp án B.
II. Tự luận
Phương pháp giải :
- Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó (Quy tắc chuyển vế); - Nhân cả hai vế với cùng một số khác 0 (Quy tắc nhân với một số); - Chia hai vế cho cùng một số khác 0 (Quy tắc chia cho một số). Lời giải chi tiết :
a) \(7x - 21 = 0\) \(x = 3\) Vậy \(x = 3\) b) \(5x - x + 20 = 0\) \(4x = - 20\) \(x = - 5\) Vậy \(x = - 5\) c) \(\frac{2}{3}x + 2 = \frac{1}{3}\) \(\frac{2}{3}x = \frac{1}{3} - 2\) \(\begin{array}{l}\frac{2}{3}x = \frac{{ - 5}}{3}\\x = \frac{{ - 5}}{3} \cdot \frac{3}{2}\end{array}\) \(x = \frac{{ - 5}}{2}\) Vậy \(x = \frac{{ - 5}}{2}\) d) \(\frac{3}{2}\left( {x - \frac{5}{4}} \right) - \frac{5}{8} = x\). \(\frac{3}{2}x - \frac{{15}}{8} - \frac{5}{8} = x\) \(\frac{3}{2}x - x = \frac{5}{8} + \frac{{15}}{8}\) \(\frac{1}{2}x = \frac{5}{2}\) \(x = 5\) Vậy \(x = 5\) Phương pháp giải :
Thu gọn biểu thức bằng cách thực hiện phép cộng các phân thức đại số: Muốn cộng hai hay nhiều phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được. Thay giá trị của biến vào biểu thức ta được giá trị của phân thức. Lời giải chi tiết :
a) \(P = \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} + 6x + 9}} + \frac{3}{{x - 3}} + \frac{x}{{9 - {x^2}}}\) \( = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{{{(x + 3)}^2}}} + \frac{3}{{x - 3}} + \frac{{ - 6x}}{{{x^2} - 9}}\) \( = \frac{x}{{x + 3}} + \frac{3}{{x - 3}} + \frac{{ - 6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) \( = \frac{{x\left( {x - 3} \right) + 3\left( {x + 3} \right) - 6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) \( = \frac{{{x^2} - 3x + 3x + 9 - 6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) \( = \frac{{{{(x - 3)}^2}}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) \( = \frac{{x - 3}}{{x + 3}}\) b) Tại \(x = - 2\) ta có \(P = \frac{{ - 2 - 3}}{{ - 2 + 3}} = \frac{{ - 5}}{1} = - 5\) Phương pháp giải :
Bước 1. Lập phương trình. - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và theo các đại lượng đã biết. - Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình. Bước 3. Trả lời. - Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không. - Kết luận. Lời giải chi tiết :
Gọi số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là \({\rm{x}}\) (sản phẩm). Điều kiện: \({\rm{x}} \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}},x > 50\). Số sản phẩm thực tế sản xuất được là: \(x + 13\) (sản phẩm). Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là: \(\frac{x}{{50}}\) (ngày). Thời gian hoàn thành công việc thực tế là: \(\frac{{x + 13}}{{57}}\) (ngày). Vì thực tế tổ đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày nên ta có PT: \(\begin{array}{l}\frac{x}{{50}} - \frac{{x + 13}}{{57}} = 1\\\frac{{57x - 50\left( {x + 13} \right)}}{{50.57}} = 1\\57x - 50x - 650 = 50.57\\7x = 2850 + 650\\7x = 3500\\x = 500\left( {TM} \right)\end{array}\) Vậy theo kế hoạch tổ phải sản xuất 500 sản phẩm. Phương pháp giải :
a) Áp dụng định lí Thales đảo chứng minh \({\rm{MN}}/\) /BC Áp dụng định lí: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho. b) Chứng minh \(\Delta APB = \Delta AMN\left( {c - g - c} \right)\). Suy ra đpcm. Lời giải chi tiết :
a) Xét \(\Delta {\rm{ABC}}\) có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\left( {\frac{4}{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}} \right)\) nên MN//BC (định lí Thales đảo) Suy ra $\Delta AMN\backsim \Delta ABC$ (định lí) với tỉ số đồng dạng \(\frac{2}{3}\) b) Xét \(\Delta APB\) và \(\Delta AMN\) có: \(AP = AM\left( { = 4{\rm{\;cm}}} \right),\widehat A\) chung, \(AB = AN\left( { = 6{\rm{\;cm}}} \right)\) Từ (1) và (2) suy ra $\Delta APB\backsim \Delta ABC$ Phương pháp giải :
Biến đổi phân thức đại số. Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Lời giải chi tiết :
\(A = \frac{{yz}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}} + \frac{{zx}}{{\left( {y - z} \right)\left( {y - x} \right)}} + \frac{{xy}}{{\left( {z - x} \right)\left( {z - y} \right)}}\) \( = \frac{{ - yz\left( {y - z} \right) - zx\left( {z - x} \right) - xy\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\) \( = \frac{{ - {y^2}z + {z^2} - {z^2}x + {x^2}z - {x^2}y + {x^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\) \( = \frac{{ - {y^2}\left( {z - x} \right) + y\left( {{z^2} - {x^2}} \right) - zx\left( {z - x} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\) \( = \frac{{\left( {z - x} \right)\left( { - {y^2} + yz + yx - zx} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\) \( = \frac{{\left( {z - x} \right)\left[ { - y\left( {y - z} \right) + x\left( {y - z} \right)} \right]}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}\) \( = \frac{{\left( {z - x} \right)\left( {y - z} \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}} = 1\) Vậy A = 1
|
