Đề thi học kì 1 Toán 8 - Đề số 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Thu gọn đa thức \(2{x^4}y - 4{y^5} + 5{x^4}y - 7{y^5} + {x^2}{y^2} - 2{x^4}y\) ta được:

  • A
    \(5{x^4}y + 11{y^5} + {x^2}{y^2}\).
  • B
    \(9{x^4}y - 11{y^5} + {x^2}{y^2}\).
  • C
    \( - 5{x^4}y - 11{y^5} + {x^2}{y^2}\).
  • D
    \(5{x^4}y - 11{y^5} + {x^2}{y^2}\).
Câu 2 :

Đa thức \({{\mathop{\rm x}\nolimits} ^5} + 4{x^3} - 6{x^2}\) chia hết cho đơn thức nào?

  • A
     4xy
  • B
     6x3
  • C
     x5
  • D
     4x2
Quảng cáo
decumar
Câu 3 :
Con hãy ghép đáp án ở cột A với đáp án tương ứng ở cột B

Ghép  mỗi ý ở cột A với mỗi ý ở cột B để được kết quả đúng.

a. \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)

b. \(\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)

c. \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\)

1. \({x^3} + {y^3}\)

2. \({x^3} + 2{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}\)

3. \({x^3} - {y^3}\).

Câu 4 :

Hình thang cân là hình thang

  • A
    có hai cạnh bên bằng nhau.
  • B
    có hai cạnh đáy bằng nhau.
  • C
    có hai góc kề một cạnh bên bù nhau.
  • D
    có hai góc kề một đáy bằng nhau.
Câu 5 :

Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F. Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì AEDF là chữ nhật?

  • A
     cân tại A.                    
  • B
     vuông tại A.
  • C
     vuông cân tại A.
  • D
     \(\widehat A = {60^0}\).
Câu 6 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = \(\frac{1}{2}\)BC, đường trung tuyến AM. Tam giác ABM là tam giác gì?

  • A
    vuông tại A.
  • B
    cân tại M.  
  • C
    đều.
  • D
    cân tại B.
Câu 7 :

Viết tỉ số cặp đoạn thằng có độ dài như sau: AB = 4dm; CD = 20dm.

  • A
    \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{4}\).
  • B
    \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{5}\).
  • C
    \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{6}\).
  • D
    \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{7}\).
Câu 8 :

Tìm giá trị của x trong hình vẽ?

  • A
    \(x = \frac{{21}}{5}\).
  • B
    \(x = 2,5\).
  • C
    \(x = 7\).
  • D
    \(x = \frac{{21}}{4}\).
Câu 9 :

Cho \(\Delta ABC\), AD là tia phân giác trong của góc A. Hãy chọn câu đúng.

  • A
    \(\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
  • B
    \(\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{DC}}\).
  • C
    \(\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).
  • D
    \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AD}}\).
Câu 10 :

Một số con vật sống trên cạn: Cá voi, chó, mèo , bò. Trong các dữ liệu trên, dữ liệu chưa hợp lí là:

  • A
    Cá voi.
  • B
    Chó.                           
  • C
    Mèo.
  • D
    Bò.
Câu 11 :

Trong cuộc khảo sát tìm hiểu về cách học của học sinh khối 8 được kết quả như sau:

Có 50 % học sinh học qua đọc, viết.

Có 35 % học sinh học qua nghe

Có 10 % học sinh học qua vận động.

Có 5 % học sinh học qua quan sát.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    Kết quả thu thập trên là dữ liệu không phải là số.                          
  • B
    Kết quả thu thập trên là số liệu.
  • C
    Kết quả trên gồm cả dữ liệu không phải là số và số liệu.
  • D
    Kết quả trên  dữ liệu phần trăm là dữ liệu không phải là số.
II. Tự luận
Câu 1 :

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(2{x^2} + 6x\)

b) \({x^4} + 3{x^3} + x + 3\)

c) \(64 - {x^2} - {y^2} + 2xy\)

Câu 2 :

a) Rút gọn biểu thức sau:

\(A = \left( {x + 5} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} + x - 2} \right)\)

b) Tính nhanh: 742 + 242 – 48.74.

Câu 3 :

Biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn vốn sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta qua các năm 2015; 2017; 2018; 2019; 2020. (đơn vị: nghìn tỷ đồng)

                                          (Nguồn: Niên giám thống kê 2021)

a) Lập bảng thống kê vốn sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta qua các năm 2015; 2017; 2018; 2019; 2020 theo mẫu sau:

Năm

2015

2017

2018

2019

2020

Vốn

(nghìn tỷ đồng)

?

?

?

?

?

b) Năm nào vốn sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta là nhiều nhất? ít nhất?

c) Năm 2020 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước tăng bao nhiêu phần trăm so năm 2015 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

d) Năm 2017 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước giảm bao nhiêu phần trăm so năm 2019 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Quảng cáo
decumar
Câu 4 :

1. Giữa hai điểm \(B\) và \(C\) bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình dưới). Hãy xác định độ dài \(BC\) mà không cần phải bơi qua hồ. Biết rằng đoạn thẳng \(KI\) dài \(30m\) và \(K\) là trung điểm của \(AB\), \(I\) là trung điểm của \(AC\).

2. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(H\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AB\), \(E\) là giao điểm của \(MH\) và \(AB\). Gọi \(K\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AC\), \(F\) là giao điểm của \(MK\) và \(AC\).

a) Các tứ giác \(AEMF\), \(AMBH\), \(AMCK\) là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng \(H\) đối xứng với \(K\) qua \(A\).

c) Tam giác vuông \(ABC\) cần thêm điều kiện gì thì tứ giác \(AEMF\) là hình vuông?

Câu 5 :

Chứng minh biểu thức \(A =  - {x^2} + \frac{2}{3}x - 1\) luôn luôn âm với mọi giá trị của biến

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm
Câu 1 :

Thu gọn đa thức \(2{x^4}y - 4{y^5} + 5{x^4}y - 7{y^5} + {x^2}{y^2} - 2{x^4}y\) ta được:

  • A
    \(5{x^4}y + 11{y^5} + {x^2}{y^2}\).
  • B
    \(9{x^4}y - 11{y^5} + {x^2}{y^2}\).
  • C
    \( - 5{x^4}y - 11{y^5} + {x^2}{y^2}\).
  • D
    \(5{x^4}y - 11{y^5} + {x^2}{y^2}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc tính với đa thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\begin{array}{l}2{x^4}y - 4{y^5} + 5{x^4}y - 7{y^5} + {x^2}{y^2} - 2{x^4}y\\ = \left( {2{x^4}y + 5{x^4}y - 2{x^4}y} \right) + \left( { - 4{y^5} - 7{y^5}} \right) + {x^2}{y^2}\\ = 5{x^4}y - 11{y^5} + {x^2}{y^2}\end{array}\)

Câu 2 :

Đa thức \({{\mathop{\rm x}\nolimits} ^5} + 4{x^3} - 6{x^2}\) chia hết cho đơn thức nào?

  • A
     4xy
  • B
     6x3
  • C
     x5
  • D
     4x2

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Dựa vào quy tắc chia đa thức cho đơn thức.

Đa thức chia hết cho một đơn thức nếu các hạng tử của đa thức đó chia hết cho đơn thức.

Vì vậy bậc của các biến đơn thức phải không lớn hơn bậc của các biến trong đa thức.

Lời giải chi tiết :

Đa thức \({{\mathop{\rm x}\nolimits} ^5} + 4{x^3} - 6{x^2}\) là đa thức biến x với bậc nhỏ nhất của biến x là 2 nên A, B, C không thỏa mãn. (4xy có biến y; 6x3 có bậc của x là 3; x5 có bậc của x là 5).

Vậy đa thức \({{\mathop{\rm x}\nolimits} ^5} + 4{x^3} - 6{x^2}\) chia hết cho đơn thức 4x2.

Câu 3 :
Con hãy ghép đáp án ở cột A với đáp án tương ứng ở cột B

Ghép  mỗi ý ở cột A với mỗi ý ở cột B để được kết quả đúng.

a. \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)

b. \(\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)

c. \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\)

1. \({x^3} + {y^3}\)

2. \({x^3} + 2{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}\)

3. \({x^3} - {y^3}\).

Đáp án

a. \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)

2. \({x^3} + 2{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}\)

b. \(\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)

3. \({x^3} - {y^3}\).

c. \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\)

1. \({x^3} + {y^3}\)

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Lời giải chi tiết :

a. \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {x^3} + {x^2}y + {x^2}y + x{y^2} + {y^2}x + {y^3}\\ = {x^3} + 2{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) a – 2.

b. \(\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right) = {x^3} - {y^3} \Rightarrow \) b – 3.

c. \(\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = {x^3} + {y^3} \Rightarrow \) c – 1.

Câu 4 :

Hình thang cân là hình thang

  • A
    có hai cạnh bên bằng nhau.
  • B
    có hai cạnh đáy bằng nhau.
  • C
    có hai góc kề một cạnh bên bù nhau.
  • D
    có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng khái niệm hình thang cân.

Lời giải chi tiết :

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

Câu 5 :

Cho tam giác ABC, qua điểm D thuộc cạnh BC, kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB theo thứ tự ở E và F. Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì AEDF là chữ nhật?

  • A
     cân tại A.                    
  • B
     vuông tại A.
  • C
     vuông cân tại A.
  • D
     \(\widehat A = {60^0}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông.

Lời giải chi tiết :

Vì DE // AF; DF // AE (gt) => AEDF là hình bình hành.

Để hình bình hành AEDF là hình chữ nhật thì \(\widehat A = {90^0}\) hay tam giác ABC vuông tại A.

Câu 6 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = \(\frac{1}{2}\)BC, đường trung tuyến AM. Tam giác ABM là tam giác gì?

  • A
    vuông tại A.
  • B
    cân tại M.  
  • C
    đều.
  • D
    cân tại B.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Ta có tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến nên AM = \(\frac{1}{2}\)BC = BM = MC.

Mà AB = \(\frac{1}{2}\)BC (gt)

=> AM = AB = BM  hay tam giác ABM đều.

Câu 7 :

Viết tỉ số cặp đoạn thằng có độ dài như sau: AB = 4dm; CD = 20dm.

  • A
    \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{4}\).
  • B
    \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{5}\).
  • C
    \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{6}\).
  • D
    \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{7}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về tỉ số của hai đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{4}{{20}} = \frac{1}{5}\).

Câu 8 :

Tìm giá trị của x trong hình vẽ?

  • A
    \(x = \frac{{21}}{5}\).
  • B
    \(x = 2,5\).
  • C
    \(x = 7\).
  • D
    \(x = \frac{{21}}{4}\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng định lí Thalès để tính x.

Lời giải chi tiết :

 Vì DE // BC nên \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{x}{{x + 3}} = \frac{7}{{12}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 12x = 7\left( {x + 3} \right) \Leftrightarrow 12x = 7x + 21\\ \Leftrightarrow 12x - 7x = 21 \Leftrightarrow 5x = 21 \Leftrightarrow x = \frac{{21}}{5}\end{array}\)

Câu 9 :

Cho \(\Delta ABC\), AD là tia phân giác trong của góc A. Hãy chọn câu đúng.

  • A
    \(\frac{{DC}}{{DB}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
  • B
    \(\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{DC}}\).
  • C
    \(\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).
  • D
    \(\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{AD}}\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của đường phân giác trong tam giác.

Lời giải chi tiết :

Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, ta có: \(\frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{AC}}{{DC}}\) nên B đúng.

Câu 10 :

Một số con vật sống trên cạn: Cá voi, chó, mèo , bò. Trong các dữ liệu trên, dữ liệu chưa hợp lí là:

  • A
    Cá voi.
  • B
    Chó.                           
  • C
    Mèo.
  • D
    Bò.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xác định xem con vật nào không sống trên cạn.

Lời giải chi tiết :

Dữ liệu chưa hợp lí là cá voi, vì cá voi không sống trên cạn.

Câu 11 :

Trong cuộc khảo sát tìm hiểu về cách học của học sinh khối 8 được kết quả như sau:

Có 50 % học sinh học qua đọc, viết.

Có 35 % học sinh học qua nghe

Có 10 % học sinh học qua vận động.

Có 5 % học sinh học qua quan sát.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A
    Kết quả thu thập trên là dữ liệu không phải là số.                          
  • B
    Kết quả thu thập trên là số liệu.
  • C
    Kết quả trên gồm cả dữ liệu không phải là số và số liệu.
  • D
    Kết quả trên  dữ liệu phần trăm là dữ liệu không phải là số.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào phân loại dữ liệu.

Lời giải chi tiết :

Các hình thức học: đọc viết; nghe; vận động; quan sát không phải là số.

Số lượng học sinh có cách học qua đọc, viết; nghe; vận động; quan sát lần lượt là: 50%, 30%, 10%, 5% là số liệu.

Vậy chọn đáp án C.

II. Tự luận
Câu 1 :

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) \(2{x^2} + 6x\)

b) \({x^4} + 3{x^3} + x + 3\)

c) \(64 - {x^2} - {y^2} + 2xy\)

Phương pháp giải :

Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

a) \(2{x^2} + 6x = 2x\left( {x + 3} \right)\)

b) \({x^4} + 3{x^3} + x + 3 = \left( {{x^4} + x} \right) + \left( {3{x^3} + 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} = x\left( {{x^3} + 1} \right) + 3\left( {{x^3} + 1} \right)\\ = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^3} + 1} \right)\\ = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)\end{array}\)

c) \(64 - {x^2} - {y^2} + 2xy\)

\(\begin{array}{l} = 64 - \left( {{x^2} + {y^2} - 2xy} \right)\\ = {8^2} - {\left( {x - y} \right)^2}\\ = \left( {8 - x + y} \right)\left( {8 + x - y} \right)\end{array}\)

Câu 2 :

a) Rút gọn biểu thức sau:

\(A = \left( {x + 5} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} + x - 2} \right)\)

b) Tính nhanh: 742 + 242 – 48.74.

Phương pháp giải :

Dựa vào các phép tính với đa thức, các hằng đẳng thức để rút gọn A.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}A = \left( {x + 5} \right)\left( {x + 1} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} + x - 2} \right)\\ = \left( {{x^2} + 5x + x + 5} \right) + \left( {{x^3} - {2^3}} \right) - \left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)\\ = {x^2} + 6x + 5 + {x^3} - 8 - {x^3} - {x^2} + 2x\\ = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + \left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {6x + 2x} \right) + \left( {5 - 8} \right)\\ = 8x - 3\end{array}\)

b) 742 + 242 – 48.74 = 7422 + 242 – 2.24.74 = (74 – 24)2 = 502 = 2 500.

Câu 3 :

Biểu đồ đoạn thẳng biểu diễn vốn sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta qua các năm 2015; 2017; 2018; 2019; 2020. (đơn vị: nghìn tỷ đồng)

                                          (Nguồn: Niên giám thống kê 2021)

a) Lập bảng thống kê vốn sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta qua các năm 2015; 2017; 2018; 2019; 2020 theo mẫu sau:

Năm

2015

2017

2018

2019

2020

Vốn

(nghìn tỷ đồng)

?

?

?

?

?

b) Năm nào vốn sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta là nhiều nhất? ít nhất?

c) Năm 2020 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước tăng bao nhiêu phần trăm so năm 2015 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

d) Năm 2017 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước giảm bao nhiêu phần trăm so năm 2019 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Phương pháp giải :

Dựa vào biểu đồ để trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết :

a)

Năm

2015

2017

2018

2019

2020

Vốn

(nghìn tỷ đồng)

6944,9

9087,3

9465,6

9357,8

10284,2

b) Vốn sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta nhiều nhất là năm 2020; ít nhất là năm 2015.

c) Tỉ số phần trăm vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước năm 2020 so với năm 2015 là: \(\frac{{10284,2}}{{6944,9}}.100\% = 148,1\% \)

Năm 2020 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước tăng 148,1% - 100% = 48,1% so năm 2015.

d) Tỉ số phần trăm vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước năm 2017 so với năm 2019 là \(\frac{{9087,3}}{{9357,8}}.100\% = 97,1\% \)

Năm 2017 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước giảm 100% - 97,1% = 2,9% so năm 2019.

Câu 4 :

1. Giữa hai điểm \(B\) và \(C\) bị ngăn cách bởi hồ nước (như hình dưới). Hãy xác định độ dài \(BC\) mà không cần phải bơi qua hồ. Biết rằng đoạn thẳng \(KI\) dài \(30m\) và \(K\) là trung điểm của \(AB\), \(I\) là trung điểm của \(AC\).

2. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(H\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AB\), \(E\) là giao điểm của \(MH\) và \(AB\). Gọi \(K\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AC\), \(F\) là giao điểm của \(MK\) và \(AC\).

a) Các tứ giác \(AEMF\), \(AMBH\), \(AMCK\) là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh rằng \(H\) đối xứng với \(K\) qua \(A\).

c) Tam giác vuông \(ABC\) cần thêm điều kiện gì thì tứ giác \(AEMF\) là hình vuông?

Phương pháp giải :
  1. Dựa vào tính chất đường trung bình trong tam giác.
  2.  

a) Tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật. Các tứ giác \(AMBH\), \(AMCK\) là hình thoi.

b) Theo a) suy ra \(HA\parallel BC\), \(AK\parallel MC\) \( \Rightarrow \) \(H\), \(A\), \(K\) thẳng hàng. Lại có \(AH = AM = AK\) \( \Rightarrow \) \(H\), \(K\) đối xứng với nhau qua \(A\).

c) Để hình chữ nhật \(AEMF\) là hình vuông thì cần thêm điều kiện \(AE = EM\). \( \Rightarrow \) \(AB = AC\). Vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\).

Lời giải chi tiết :

1.

Vì K là trung điểm của AB, I là trung điểm của AC nên KI là đường trung bình của tam giác ABC => KI // BC và KI = \(\frac{1}{2}\)BC.

Vì KI = 30 m nên BC = 2.KI = 2.30 = 60 m.

Vậy BC = 60 m.

2. 

a) Ta có: \(H\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AB\), \(E\) là giao điểm của \(MH\) và \(AB\) => \(AB \bot HM\)(\(\widehat E = {90^0}\)) và HE = EM.

\(K\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(AC\), \(F\) là giao điểm của \(MK\) và \(AC\)=> \(AC \bot MK\)(\(\widehat F = {90^0}\)) và MF = FK.

Tứ giác AEMF có: \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = {90^0}\) (cmt)  nên AEMF là hình chữ nhật (đpcm). Suy ra ME // AF; MF // AE.

Ta có: M là trung điểm của BC (vì AM là đường trung tuyến), ME // AC (cmt); MF // AE (cmt) => ME và MF là đường trung bình của tam giác ABC. => ME = \(\frac{1}{2}\)AC; MF = \(\frac{1}{2}\)AB. (1)

Mà ME = AF; MF = AE (vì AEMF là hình chữ nhật) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE = EB = \(\frac{1}{2}\)AB; AF = FC = \(\frac{1}{2}\)AC.

Xét tứ giác AMBH có: AE = EB; HE = EM và \(AB \bot HM\) tại E nên AMBH là hình thoi (đpcm).

Tương tự, tứ giác AMCK có: AF = FC; MF = FK và \(AC \bot MK\) tại F nên AMCK là hình thoi (đpcm).

b) Xét tứ giác BHKC có: BH // CK và BH = CK (cùng song song và bằng AM) nên BHKC là hình bình hành => BC // HK.

Vì AMBH và AMCK là hình thoi nên HA // BM, HA = BM; AK // CM, AK = CM.

Ta có BC // HK, BC // HA; BC // AK (cmt) => H, A, K thẳng hàng.

Mà AH = AK = BM = MC (vì M là trung điểm của BC) nên H đối xứng với K qua A.

c) Để AEMF là hình vuông thì AE = AF \( \Leftrightarrow \) \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AC\) hay AB = AC \( \Leftrightarrow \) tam giác ABC vuông cân tại A.

Vậy để AEMF là hình vuông thì tam giác ABC phải là tam giác cân.

Câu 5 :

Chứng minh biểu thức \(A =  - {x^2} + \frac{2}{3}x - 1\) luôn luôn âm với mọi giá trị của biến

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}A =  - {x^2} + \frac{2}{3}x - 1\\ =  - \left( {{x^2} - 2x.\frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} + 1} \right)\\ =  - \left[ {{x^2} - 2x.\frac{1}{3} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + \frac{8}{9}} \right]\\ =  - \left[ {{{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)}^2} + \frac{8}{9}} \right] =  - {\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{8}{9}\end{array}\)

Ta có \( - {\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} \le 0\) nên \( - {\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{8}{9} < 0\) với mọi x.

Vậy A < 0 hay luôn luôn âm với mọi giá trị x.

close