Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai - SGK Toán 10 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết 1. Dấu của tam thức bậc hai a) Khái niệm tam thức bậc hai

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 10 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Quảng cáo

A. Lý thuyết

1. Dấu của tam thức bậc hai

a) Khái niệm tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax2+bx+cax2+bx+c, trong đó a, b, c là các số thực cho trước và a0a0, được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai ax2+bx+cax2+bx+c.

Δ=b24acΔ=b24acΔ=b2ac với b = 2b’ tương ứng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai ax2+bx+c.

b) Dấu của tam thức bậc hai

Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai ax2+bx+c với dấu của hệ số a trong từng trường hợp của Δ được phát biểu trong định lí về dấu của tam thức bậc hai sau đây:

Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a0).

- Nếu Δ<0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a xR.

- Nếu Δ=0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi xb2af(b2a)=0.

- Nếu Δ>0 thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1x2 (x1<x2). Khi đó:

     + f(x) cùng dấu với hệ số a x(;x1)(x2;+).

     + f(x) trái dấu với hệ số a x(x1;x2).

Chú ý: Trong định lí về dấu của tam thức bậc hai, có thể thay Δ bởi Δ.

2. Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng ax2+bx+c>0 (hoặc ax2+bx+c0, ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và a0.

Số thực x0 gọi là nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2+bx+c>0, nếu ax02+bx0+c>0. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2+bx+c>0 gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.

Giải một bất phương trình bậc hai là tìm tập nghiệm của nó.

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai ax2+bx+c>0 (hoặc ax2+bx+c0, ax2+bx+c<0, ax2+bx+c0) ta cần xét dấu tam thức ax2+bx+c, từ đó suy ra tập nghiệm.

 

B. Bài tập

Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai?

A. 3x+2x+1

B. 5x4+3x2+4

C. 23x2+7x4

D. (1x)2+21x+3

Giải:

23x2+7x4 là tam thức bậc hai với a=23,b=7,c=4.

Bài 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau đây:

a) x2+x+1.

b) 32x2+9x272.

c) 2x2+6x8.

Giải:

a) f(x)=x2+x+1Δ=3<0a=1>0 nên f(x) > 0 với mọi xR.

b)

f(x)=32x2+9x272Δ=0a=32<0 nên f(x) có nghiệm kép x = 3 và f(x) < 0 với mọi x3.

c) Dễ thấy f(x)=2x2+6x8Δ=25>0, a = 2 > 0 và có hai nghiệm phân biệt x1=4, x2=1. Do đó ta có bảng xét dấu:

 

Suy ra f(x) > 0 với mọi x(;4)(1;+) và f(x) < 0 với mọi x(4;1).

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

a) 3x2+x+50.

b) 3x2+23x10.

c) x2+2x+1>0.

Giải:

a) Tam thức f(x)=3x2+x+5Δ=59<0, hệ số a = 3 > 0 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là 3x2+x+5>0 với mọi xR. Suy ra bất phương trình vô nghiệm.

b) Tam thức f(x)=3x2+23x1Δ=0, hệ số a = -3 < 0 nên f(x) có nghiệm kép x=33 và f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi x33, tức là 3x2+23x1<0 với mọi x33.

Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất x=33.

c) Tam thức f(x)=x2+2x+1Δ=2>0 nên f(x) có hai nghiệm x1=12x2=1+2.

Mặt khác, a = -1 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là S=(12;1+2).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

close