Giải bài 6.17 trang 24 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\): \({x^2} + (m + 1)x + 2m + 3\).

Lời giải chi tiết

Để tam thức bậc hai \({x^2} + (m + 1)x + 2m + 3 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\):

Ta có: \(a = 1 >0\) nên \(\Delta  < 0\).

\( \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 4.(2m + 3) < 0\)

\(\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 8m - 12 < 0\)

\(\Leftrightarrow {m^2} - 6m - 11 < 0\).

Tam thức \(f(m) = {m^2} - 6m - 11\) có \(\Delta ' = 20 > 0\) nên \(f(x)\) có 2 nghiệm phân biệt:

\({m_1} =  3+\sqrt{20}\); \({m_2} = 3-\sqrt{20}\).

Khi đó \(  3-2\sqrt{5} < m < 3+2\sqrt{5}\).

Vậy \(  3-2\sqrt{5} < m < 3+2\sqrt{5}\).