Giải mục 2 trang 50, 51, 52 SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ3

Giả sử thiết bị tại \({F_2}\) nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại \({F_1}\) là 2 giây và vận tốc âm thanh là \(343\) m/s.

a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới \({F_1},{F_2}\).

b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn \(M{F_1} - M{F_2} = 686\) (m) hay không?

Lời giải chi tiết:

a) Khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới \({F_1},{F_2}\) là: \(M{F_1}, M{F_2}\) với M là điểm đặt thiết bị âm thanh.

Rõ ràng \(M{F_1} > M{F_2}\) do thiết bị tại \({F_2}\) nhận được tín hiệu sớm hơn.

b) Có liên quan.

Gọi t là thời gian thiết bị tại \({F_2}\) nhận được tín hiệu.

Ta có: \(M{F_2}=t.343\).

Tại \({F_1}\), thời gian thiết bị nhận được tín hiệu là: \(t+2\).

\(\Rightarrow M{F_1}=(t+2).343\)

\(\Rightarrow M{F_1} -  M{F_2} =(t+2).343 - t.343\)

\(=2.343=686\).

Vậy tập hợp các điểm M mà tại đó phát ra tín hiệu âm thanh để thiết bị tại \({F_2}\) nhận được sớm hơn 2 giây thỏa mãn \(M{F_1} -  M{F_2} =686\).

CH

Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện a < c?

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(M{F_1} > M{F_2}\), ta có:

\(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = M{F_1} - M{F_2}\)

\(= M{F_1} + {F_1}{F_2} - \left( {M{F_2} + {F_2}{F_1}} \right)\).

Mà \(M{F_2} + {F_2}{F_1}> M{F_1} \)

\(\Rightarrow \left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| < M{F_1} + {F_1}{F_2} - M{F_1} \)

\(= {F_1}{F_2}\).

Hay \(2a < 2c \Leftrightarrow a < c\).

LT3

Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD (H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Phương pháp giải:

Ta cần chỉ ra các điểm A, B, C, D thỏa mãn:

\(\left| {AM - AN} \right| = \left| {BM - BN} \right| \)

\(= \left| {CM - CN} \right| = \left| {DM - DN} \right| < MN\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: AM = BM = CN = DN, AN = BN = CM = DM. Từ đó suy ra:

\(\left| {AM - AN} \right| = \left| {BM - BN} \right| \)

\(= \left| {CM - CN} \right| = \left| {DM - DN} \right| \).

Và \(\left| {AM - AN} \right| <MN\) (bất đẳng thức trong tam giác).

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường hyperbol với M, N là hai tiêu điểm.

HĐ4

Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ Oxy có gốc O là trung điểm của \({F_1}{F_2}\), tia Ox trùng tia \(O{F_2}\) (H.7.26). Nêu toạ độ của các tiêu điểm \({F_1},{F_2}\). Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi \(\left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}}  - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M{F_1} = \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} ,M{F_2} = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} \).Vậy để điểm M thuộc Hyperbol khi và chỉ khi \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a\) hay\(\left| {\sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}}  - \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} } \right| = 2a\).

LT4

Cho (H): \(\frac{{{x^2}}}{{144}} - \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\). Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của (H).

Phương pháp giải:

Tìm \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), sau đó thay vào công thức xác định hai tiêu điểm và tiêu cự.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(c = \sqrt {144 + 25}  = 13\).

Do đó (H) có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 13;0} \right),{F_2}\left( {13;0} \right)\) và có tiêu cự bằng \(2c = 26\).