Giải bài tập 2 trang 117 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và dây $AB$ sao cho $\widehat {AOB} = 90^\circ$. Giả sử $M,N$ lần lượt là các điểm thuộc cung lớn $AB$ và cung nhỏ $AB$ ($M,N$ khác $A$ và $B$).

a) Tính độ dài đoạn thẳng $AB$ theo $R$.

b) Tính số đo các góc $ANB$ và $AMB$.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác $AOB$ vuông tại $O$, ta có:

$O{A^2} + O{B^2} = A{B^2} \Rightarrow A{B^2} = {R^2} + {R^2} = 2{R^2} \Rightarrow AB = R \sqrt 2$

b) Xét đường tròn $\left( O \right)$:

+) Vì M thuộc cung lớn AB nên $\widehat {AMB}$ là góc nội tiếp và $\widehat {AOB}$ là góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ $AB$ nên:

$\widehat {AMB} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ$.

+) Số đo cung lớn AB là:

$sđ\overset\frown{AB}\; lớn=360{}^\circ - sđ\overset\frown{AB }\; nhỏ=360{}^\circ -90{}^\circ =270{}^\circ$

+) Vì N thuộc cung nhỏ AB nên $\widehat {ANB}$ là góc nội tiếp chắn cung lớn $AB$ nên:

$\widehat{ANB}=\frac{1}{2}sđ\overset\frown{AB }\; lớn=\frac{1}{2}.270{}^\circ =135{}^\circ$.

Vậy $\widehat {AMB} = 45^\circ ,\widehat {ANB} = 135^\circ$.