Bài 83 trang 52 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB < AC,\) đường cao \(AH.\) Chứng minh rằng: 

\(HB < HC, \) \(\widehat {HAB} < \widehat {HAC}\) (xét hai trường hợp: \(\widehat B\) nhọn và \(\widehat B\) tù).

Lời giải chi tiết

*) Trường hợp: \(\widehat B < 90^\circ \)

    

Đường xiên \(AB < AC\) nên hình chiếu \(HB < HC\)

Trong \(∆ABC\) ta có: \(AB  < AC\)

\( \Rightarrow \widehat B < \widehat C\) (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Trong \(∆AHB\) có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat {HAB} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)       (1)

Trong \(∆AHC\) có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat C + \widehat {HAC} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)         (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B + \widehat {HAB} = \widehat C + \widehat {HAC}\)

Mà \(\widehat B > \widehat C\) nên \(\widehat {HAB} < \widehat {HAC}\) 

*) Trường hợp: \(90^\circ  < \widehat B < 180^\circ \)

Nếu \(90^\circ  < \widehat B < 180^\circ \) thì điểm \(B\) nằm giữa \(H\) và \(C.\) Suy ra \(HB<HC\) và

\(\widehat {HAC} = \widehat {HAB} + \widehat {BAC}\)

\( \Rightarrow \widehat {HAB} < \widehat {HAC}\)

Loigiaihay.com