Bài 86 trang 53 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hình 19 trong đó \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng:

a) \({S_{AGC}} = 2{{\rm{S}}_{GMC}}\)

b) \({S_{GMB}} = {S_{GMC}}\)

c) \({S_{AGB}} = {S_{AGC}} = {S_{BGC}}\) 

Lời giải chi tiết

a) \(G\) là trọng tâm của \(∆ABC\)

\( \Rightarrow  GA = 2GM\) (tính chất đường trung tuyến)

Ta có \(∆AGC\) và \(∆GMC\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(C\) đến \(AM\) và có cạnh đáy \(GA = 2GM\)

Suy ra: \({S_{AGC}} = 2{{\rm{S}}_{GMC}}\)    (1)

b) Ta có: \(∆GMB\) và \(∆GMC\) có cạnh đáy \(MB = MC,\) chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(G\) đến cạnh \(BC\)

\({S_{GMB}} = {S_{GMC}}\)    (2)

c) Hai tam giác \(AGB\) và \(GMB\) có chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(B\) đến cạnh \(AM.\)

Mà \(AG = 2GM\) (chứng minh trên)

Suy ra: \( {S_{AGB}} = 2{{\rm{S}}_{GMB}}\left( 3 \right) \) 

Mà \({S_{BGC}} = {S_{GMB}} + {S_{GMC}} = 2{S_{GMB}}\left( 4 \right) \)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: \({{\rm{S}}_{AGC}} = {S_{AGB}} = {S_{BGC}}\)

Loigiaihay.com