Bài 91 trang 54 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC,\) các đường phân giác của góc ngoài tại \(B\) và \(C\) cắt nhau ở \(E.\) Gọi \(G, H, K\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(E\) đến các đường thẳng \(BC, AB, AC.\)

a) Có nhận xét gì về các độ dài \(EH, EG, EK.\)

b) Chứng minh \(AE\) là tia phân giác của góc \(BAC.\)

c) Đường phân giác của góc ngoài tại \(A\) của tam giác \(ABC\) cắt đường thẳng \(BE, CE\) tại \(D, F.\) Chứng minh rằng \(AE\) vuông góc với \(DF.\) 

d) Các đường thẳng \(AE, BF, CD\) là các đường gì trong tam giác \(ABC?\)

e) Các đường thẳng \(AE, FB, DC\) là các đường gì trong tam giác \(DEF?\)

Lời giải chi tiết

a) \(E\) thuộc tia phân giác của \(\widehat {CBH}\)

\( \Rightarrow  EG = EH\) (tính chất tia phân giác)    (1)

\(E\) thuộc tia phân giác của \(\widehat {BCK}\)

\( \Rightarrow  EG = EK\) (tính chất tia phân giác)  (2) 

Từ (1) và (2) suy ra:  \(EH = EG = EK\)

b) Ta có: \(EH = EK (cmt)\)

\( \Rightarrow  E\) thuộc tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) mà \(E\) khác \( A\)

 Nên \(AE\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) 

c) \(AE\)  là tia phân giác góc trong tại đỉnh \(A.\)

\(AF\) là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh \(A.\)

\( \Rightarrow \) \(A{\rm{E}} \bot {\rm{AF}}\) (tính chất hai góc kề bù)

Hay \(A{\rm{E}} \bot {\rm{DF}}\)

d) Tương tự câu b ta có \(BF\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(CD\) là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)

Theo câu b) ta có: \(AE\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)

Vậy các đường \(AE, BF, CD\) là các đường phân giác của \(∆ABC\)

e) Tương tự câu c) ta có: 

\(BF\) là phân giác góc trong tại đỉnh \(B.\)

\(BE\) là phân giác góc ngoài tại đỉnh \(B.\)

\(\Rightarrow BF \bot BE\) (tính chất hai góc kề bù)

Hay \(BF \bot E{\rm{D}}\)

\(CD\) là đường phân giác góc trong tại \(C\)

\(CE\) là đường phân giác góc ngoài tại \(C\)

\( \Rightarrow C{\rm{D}} \bot CE\) (tính chất hai góc kề bù)

Hay \(C{\rm{D}} \bot {\rm{EF}}\)

Mà \(A{\rm{E}} \bot {\rm{DF}}\) (theo câu c)

Vậy các đường thẳng \(AE, FB, DC\) là các đường cao trong tam giác \(DEF.\)

Loigiaihay.com