Bài 91 trang 54 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $ABC,$ các đường phân giác của góc ngoài tại $B$ và $C$ cắt nhau ở $E.$ Gọi $G, H, K$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $E$ đến các đường thẳng $BC, AB, AC.$

a) Có nhận xét gì về các độ dài $EH, EG, EK.$

b) Chứng minh $AE$ là tia phân giác của góc $BAC.$

c) Đường phân giác của góc ngoài tại $A$ của tam giác $ABC$ cắt đường thẳng $BE, CE$ tại $D, F.$ Chứng minh rằng $AE$ vuông góc với $DF.$ 

d) Các đường thẳng $AE, BF, CD$ là các đường gì trong tam giác $ABC?$

e) Các đường thẳng $AE, FB, DC$ là các đường gì trong tam giác $DEF?$

Lời giải chi tiết

a) $E$ thuộc tia phân giác của $\widehat {CBH}$

$\Rightarrow  EG = EH$ (tính chất tia phân giác)    (1)

$E$ thuộc tia phân giác của $\widehat {BCK}$

$\Rightarrow  EG = EK$ (tính chất tia phân giác)  (2) 

Từ (1) và (2) suy ra:  $EH = EG = EK$

b) Ta có: $EH = EK (cmt)$

$\Rightarrow  E$ thuộc tia phân giác của $\widehat {BAC}$ mà $E$ khác $A$

 Nên $AE$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$ 

c) $AE$  là tia phân giác góc trong tại đỉnh $A.$

$AF$ là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh $A.$

$\Rightarrow$ $A{\rm{E}} \bot {\rm{AF}}$ (tính chất hai góc kề bù)

Hay $A{\rm{E}} \bot {\rm{DF}}$

d) Tương tự câu b ta có $BF$ là tia phân giác của $\widehat {ABC}$ và $CD$ là tia phân giác của $\widehat {ACB}$

Theo câu b) ta có: $AE$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}$

Vậy các đường $AE, BF, CD$ là các đường phân giác của $∆ABC$

e) Tương tự câu c) ta có: 

$BF$ là phân giác góc trong tại đỉnh $B.$

$BE$ là phân giác góc ngoài tại đỉnh $B.$

$\Rightarrow BF \bot BE$ (tính chất hai góc kề bù)

Hay $BF \bot E{\rm{D}}$

$CD$ là đường phân giác góc trong tại $C$

$CE$ là đường phân giác góc ngoài tại $C$

$\Rightarrow C{\rm{D}} \bot CE$ (tính chất hai góc kề bù)

Hay $C{\rm{D}} \bot {\rm{EF}}$

Mà $A{\rm{E}} \bot {\rm{DF}}$ (theo câu c)

Vậy các đường thẳng $AE, FB, DC$ là các đường cao trong tam giác $DEF.$

Loigiaihay.com