Bài 8 trang 212 SBT đại số 10

LG a

Với giá trị nào của a, phương trình (E) có nghiệm?

Lời giải chi tiết:

+) TH1: a=0 phương trình trở thành  $-2x=0 \Leftrightarrow  x=0$ nên phương trình có nghiệm.

+) TH2: $a\ne 0$.

Phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta ' = {(a + 1)^2} - {(a + 1)^2}{a^2}$ $= {(a + 1)^2}(1 - {a^2}) \ge 0$

$\Leftrightarrow  - 1 \le a \le 1,a \ne 0$.

Vậy với $- 1 \le a \le 1$ thì phương trình có nghiệm.

LG b

Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của (E).

Lời giải chi tiết:

Với $-1\le a\le 1,a\ne 0$ ta có:

$P = {(a + 1)^2}$

$P = 0 \Leftrightarrow a =  - 1$, khi đó ${x_1} = {x_2} = 0$.

$P > 0,\forall a \ne  - 1$, khi đó ${x_1},{x_2}$ cùng dấu.

Xét $a\ne -1, a\ne 0$ ta có: $S = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}$

+) $S > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 0\\a <  - 1\end{array} \right.$

Kết hợp điều kiện $- 1 \le a \le 1,$ $a \ne 0,a \ne  - 1$ ta được $S < 0 \Leftrightarrow 0 < a \le 1$

Khi đó hai nghiệm cùng dương.

+) $S < 0 \Leftrightarrow  - 1 < a < 0$, khi đó hai nghiệm cùng âm.

Vậy:

Với $0 < a \le 1$ thì hai nghiệm của phương trình (E) đều dương;

Với $- 1 <a < 0$ thì hai nghiệm của phương trình (E) đều âm;

LG c

Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a.

Lời giải chi tiết:

Từ $S = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}$ suy ra $a = \dfrac{2}{{S - 2}}$.

Do đó: $P = {\left( {\dfrac{2}{{S - 2}} + 1} \right)^2} = \dfrac{{{S^2}}}{{{{(S - 2)}^2}}}$ $\Leftrightarrow {(S - 2)^2}P - {S^2} = 0$

LG d

Với những giá trị nào của a, các nghiệm ${x_1},{x_2}$ của (E) thỏa mãn hệ thức ${x_1} = 3{x_2}$? Tìm các nghiệm ${x_1},{x_2}$ trong mỗi trường hợp đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right.$ $=  > 4{x_2} = \dfrac{{2(a + 1)}}{a}$ $\Leftrightarrow {x_2} = \dfrac{{a + 1}}{{2a}}$

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1}{x_2} = {(a + 1)^2}\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right.$ $=  > 3x_2^2 = {(a + 1)^2}.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3.{\left( {\dfrac{{a + 1}}{{2a}}} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{4{a^2}}} - {\left( {a + 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2}\left( {\dfrac{3}{{4{a^2}}} - 1} \right) = 0\\ \Rightarrow {\left( {a + 1} \right)^2}\left( {3 - 4{a^2}} \right) = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\a =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.$

Với a = - 1 ta có ${x_1} = {x_2} = 0$;

Với $a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ta có: ${x_2} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{6};{x_1} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 3 }}{2}$;

Với $a =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$ta có: ${x_2} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 3 }}{6};{x_1} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 3 }}{2}$;

Loigiaihay.com