Bài 6 trang 102 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ phân giác $BD.$ Kẻ $DE ⊥ BC (E ∈ BC).$ Gọi $F$ là giao điểm của $BA$ và $ED.$ Chứng minh rằng:

a) $BD$ là đường thẳng trung trực của $AE;$

b) $DF = DC;$

c) $AD > DC.$

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác vuông $ABD$ và tam giác vuông $EBD$ có:

+) $\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}$ (do $BD$ là phân giác góc $B$)

+) $BD$ cạnh chung

Suy ra $\Delta ABD = \Delta EBD\left( {ch - gn} \right)$ nên $BA = BE;DA = DE$ (các cạnh tương ứng)

Do $BA = BE$ nên B thuộc đường trung trực của AE.

Do $DA = DE$ nên D thuộc đường trung trực của AE.

Do đó $B,D$ cùng thuộc đường trung trực của $AE$ hay $BD$ là đường trung trực của $AE.$
b) Xét tam giác vuông $AFD$ và tam giác vuông $ECD$ có:

+) $\widehat {ADF} = \widehat {EDC}$ (hai góc đối đỉnh)

+) $AD = DE$ (theo câu a)

Suy ra $\Delta AFD = \Delta ECD\left( {g - c - g} \right)$ nên $DF = DC$ (hai cạnh tương ứng)

c) Xét tam giác vuông $ADF$ có $DF$ là cạnh huyền nên $DF > AD$

Mà $DF = DC$ (theo câu b), suy ra $DC > AD.$

Loigiaihay.com