Bài 5 trang 102 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông góc tại \(A, \) phân giác \(BD.\)

a) So sánh các độ dài \(AB\) và \(AD;\)

b) So sánh các độ dài \(BC\) và \(BD.\) 

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác \(BCD\) có \(\widehat {{D_1}}\) là góc ngoài tại đỉnh \(D\) nên \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{B_2}} + \widehat C \Rightarrow \widehat {{D_1}} > \widehat {{B_2}}\)

Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_1}}\) (do \(BD\) là phân giác góc \(B\)) nên \(\widehat {{D_1}} > \widehat {{B_1}}\)

Xét tam giác \(ABD\) có \(\widehat {{D_1}} > \widehat {{B_1}}\) nên \(AB > AD\) (đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

b) Cách 1:

Hai đường xiên \(BD,BC\) có hai hình chiểu xuống cạnh \(AC\) là \(AD\) và \(AC.\)

Mà \(AD < AC \Rightarrow BD < BC\) (quan hệ giữa hình chiếu và đường xiên)

Cách 2:

Xét tam giác ABD có  là  \(\widehat {{D_2}}\) là góc ngoài tam giác tại đỉnh D nên:

\(\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat A \Rightarrow \widehat {{D_2}} > \widehat {A}\)

Mà \(\widehat {A}=90^0\) nên \(\widehat {{D_2}} > 90^0\) hay \(\widehat {{D_2}} \) là góc tù.

Xét tam giác \(ΔBDC\) có \(\widehat {{D_2}} \) là góc tù nên cạnh đối diện với góc \(\widehat {{D_2}} \) là cạnh lớn nhất trong tam giác, hay BC là cạnh lớn nhất của \(ΔBDC\)

Do đó \(BC > BD.\) 

Loigiaihay.com