Bài 53* trang 46 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Các tia phân  giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I.\) Gọi \(D\) và \(E\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến  \(AB\) và \(AC.\)

a) Chứng minh rằng \(AD = AE.\)

b) Tính các độ dài \(AD, AE\) biết rằng \(AB = 6cm, AC = 8cm.\)

Lời giải chi tiết

a) Vì \(I\) là giao điểm phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) nên \(AI\) là tia phân giác của \(Â.\)

\( \Rightarrow  ID = IE\) (tính chất tia phân giác)         (1)

Và \(\widehat {DAI} =\widehat {E{\rm{A}}I}=\dfrac{\widehat {BAC}}{2}\)\(=\dfrac{90^0}{2}= 45^\circ \) (vì \(AI\) là phân giác góc BAC)

Vì \(∆ADI \) vuông tại \(D\) có \(\widehat {DAI} = 45^\circ \)

Nên \(∆ADI\) vuông cân tại \(D.\)

\( \Rightarrow  ID = DA\)    (2)

Vì \(∆AEI\) vuông tại \(E\) có \(\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ \)

Nên \(∆ AEI\) vuông cân tại \(E\)

\( \Rightarrow IE = AE\)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AD = AE\)

b) Trong tam giác vuông \(ABC\) có \( Â=90°\)

Theo định lý Pitago ta có:

\(\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr 
& B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \)

\( \Rightarrow BC = 10 \,(cm)\)

Kẻ \(IF \bot BC\)

Xét hai tam giác vuông \(IDB\) và \(IFB:\)

+) \( \widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left( {gt} \right) \)

+) Cạnh huyền \(BI\) chung

Do đó:  \(∆IDB = ∆IFB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow  DB = FB   \) (4) (2 cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông \(IEC\) và \(IFC:\)

+) \( \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \)

+) Cạnh huyền \(CI\) chung  

Do đó: \(∆IEC = ∆IFC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow  CE = CF\)        (5)

Mà \(AD + AE \)\(= AB – DB + AC – CE\)

\( \Rightarrow AD + AE \)\(= AB + AC – (DB + CE)\)        (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra:

\(AD + AE = AB + AC – (FB + FC)\)\( = AB + AC – BC\)

\(AD + AE = 6 + 8 – 10 = 4\) (cm)

Mà \(AD = AE\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  AD = AE = 4: 2 = 2 (cm)\)