Bài 53* trang 46 SBT toán 7 tập 2

Giải bài 53* trang 46 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC. a) Chứng minh rằng AD = AE.

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Các tia phân  giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I.\) Gọi \(D\) và \(E\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến  \(AB\) và \(AC.\)

a) Chứng minh rằng \(AD = AE.\)

b) Tính các độ dài \(AD, AE\) biết rằng \(AB = 6cm, AC = 8cm.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

+) Tính chất đường phân giác của góc: Các điểm nằm trên đường phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc đó.

+) Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm.

+) Tính chất hai tam giác bằng nhau

Quảng cáo
decumar

Lời giải chi tiết

a) Vì \(I\) là giao điểm phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) nên \(AI\) là tia phân giác của \(Â.\)

\( \Rightarrow  ID = IE\) (tính chất tia phân giác)         (1)

Và \(\widehat {DAI} =\widehat {E{\rm{A}}I}=\dfrac{\widehat {BAC}}{2}\)\(=\dfrac{90^0}{2}= 45^\circ \) (vì \(AI\) là phân giác góc BAC)

Vì \(∆ADI \) vuông tại \(D\) có \(\widehat {DAI} = 45^\circ \)

Nên \(∆ADI\) vuông cân tại \(D.\)

\( \Rightarrow  ID = DA\)    (2)

Vì \(∆AEI\) vuông tại \(E\) có \(\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ \)

Nên \(∆ AEI\) vuông cân tại \(E\)

\( \Rightarrow IE = AE\)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(AD = AE\)

b) Trong tam giác vuông \(ABC\) có \( Â=90°\)

Theo định lý Pitago ta có:

\(\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr 
& B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \)

\( \Rightarrow BC = 10 \,(cm)\)

Kẻ \(IF \bot BC\)

Xét hai tam giác vuông \(IDB\) và \(IFB:\)

+) \( \widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left( {gt} \right) \)

+) Cạnh huyền \(BI\) chung

Do đó:  \(∆IDB = ∆IFB\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow  DB = FB   \) (4) (2 cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông \(IEC\) và \(IFC:\)

+) \( \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \)
+) \( \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \)

+) Cạnh huyền \(CI\) chung  

Do đó: \(∆IEC = ∆IFC\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\( \Rightarrow  CE = CF\)        (5)

Mà \(AD + AE \)\(= AB – DB + AC – CE\)

\( \Rightarrow AD + AE \)\(= AB + AC – (DB + CE)\)        (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra:

\(AD + AE = AB + AC – (FB + FC)\)\( = AB + AC – BC\)

\(AD + AE = 6 + 8 – 10 = 4\) (cm)

Mà \(AD = AE\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow  AD = AE = 4: 2 = 2 (cm)\)

  • Bài 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 phần bài tập bổ sung trang 47 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 phần bài tập bổ sung trang 47 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC. Trên tia phân giác của góc B, lấy điểm O nằm trong tam giác ABC sao cho O cách đều hai cạnh AB, AC. Khẳng định nào sau đây sai?...

  • Bài 52 trang 46 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 52 trang 46 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác các góc A và C cắt nhau ở I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng.

  • Bài 51 trang 46 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 51 trang 46 sách bài tập toán 7. Tính góc A của tam giác ABC biết rằng các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I trong đó góc BIC bằng: a) 120° b) ∝(∝ > 90°)

  • Bài 50 trang 46 SBT toán 7 tập 2

    Giải bài 50 trang 46 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC có góc A = 70°, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính góc BIC.

  • Bài 49 trang 46 SBT toán 7 tập 2

    Bài 49 trang 46 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close