Bài 3.57 trang 167 SBT hình học 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn  (C) : ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9$ và đường thẳng $d:3x - 4y + m = 0$. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C)  (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.

Lời giải chi tiết

(C) có tâm I(1 ; -2) và bán kính R = 3.

Ta có tam giác PAB đều thì $IP = 2IA = 2R = 6$ $\Leftrightarrow P \in \left( {C'} \right)$ tâm I, bán kính $R' = 6.$ 

Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc $\left( {C'} \right)$ tại $P$ $\Leftrightarrow d(I,d) = 6$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 6\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m + 11} \right|}}{5} = 6\\ \Leftrightarrow \left| {m + 11} \right| = 30\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m + 11 = 30\\ m + 11 = - 30 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 9\\ m = - 41 \end{array} \right. \end{array}$

Loigiaihay.com