Bài 3.62 trang 168 SBT hình học 10

Giải bài 3.62 trang 168 sách bài tập hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy...

Quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};0} \right)\), phương trình đường thẳng AB là : \(x - 2y + 2 = 0\) và AB = 2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính độ dài \(AD = 2d\left( {I,\left( {AB} \right)} \right)\), từ đó suy ra \(IA,IB\).

- Viết phương trình đường tròn tâm \(I\) bán kính \(IA\).

- Tìm giao điểm \(A,B\) của \(AB\) với đường tròn vừa viết.

- Tìm tọa độ \(C,D\), sử dụng chú ý \(I\) là trung điểm \(AC,BD\).

Lời giải chi tiết

Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB là \(IH = d\left( {I,AB} \right) = \dfrac{{\left| {\dfrac{1}{2} - 2.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}\) \( = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

\( \Rightarrow AD =2IH= \sqrt 5 \) và \( \Rightarrow AB = 2AD = 2\sqrt 5 \) \( \Rightarrow BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = 5\) \(   \Rightarrow IA = IB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{5}{2}\)

Do đó A, B là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm I và bán kính \(R = \dfrac{5}{2}.\)

Phương trình đường tròn \({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{{25}}{4}\)

Vậy tọa độ A, B là nghiệm của hệ :

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 2 = 0\\{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = { {\dfrac{25}{4}} }\end{array} \right.\) 

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2y - 2\\
{\left( {2y - 2 - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{{25}}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2y - 2\\
{\left( {2y - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + {y^2} = \dfrac{{25}}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2y - 2\\
4{y^2} - 10y + \dfrac{{25}}{4} + {y^2} = \dfrac{{25}}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2y - 2\\
5{y^2} - 10y = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2y - 2\\
\left[ \begin{array}{l}
y = 0\\
y = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0,x = - 2\\
y = 2,x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó \(A( - 2;0),B(2;2)\) (vì \({x_A} < 0\) )

\(I\) là trung điểm \(AC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2{x_I} - {x_A} = 2.\frac{1}{2} + 2 = 3\\{y_C} = 2{y_I} - {y_A} = 2.0 - 0 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow C\left( {3;0} \right)\)

\(I\) là trung điểm \(BD\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_I} - {x_B} = 2.\frac{1}{2} - 2 =  - 1\\{y_D} = 2{y_I} - {y_B} = 2.0 - 2 =  - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D\left( { - 1; - 2} \right)\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài