Bài 3.64 trang 168 SBT hình học 10

Giải bài 3.64 trang 168 sách bài tập hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm...

Quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C(2;0) và elip (E) :  \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\).  Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\), lập hệ phương trình ẩn \({x_0},{y_0}\).

- Giải hệ phương trình và kết luận.

Lời giải chi tiết

Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \(B({x_0}; - {y_0})\) 

Ta có : \(A{B^2} = 4y_0^2\)  và  \(A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2.\) 

Vì \(A \in (E)\) nên \(\dfrac{{x_0^2}}{4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \dfrac{{x_0^2}}{4}\,\,\,(1)\)

Vì AB = AC nên \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\) 

Thay (1) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}
{\left( {{x_0} - 2} \right)^2} - 3y_0^2 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} - 3\left( {1 - \dfrac{{x_0^2}}{4}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x_0^2 - 4{x_0} + 4 - 3 + \dfrac{{3x_0^2}}{4} = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{7x_0^2}}{4} - 4{x_0} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{x_0} = \dfrac{2}{7}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Với \({x_0} = 2\) thay vào (1) ta có \({y_0} = 0.\)

Trường hợp này loại vì \(A \equiv C.\) 

Với \({x_0} = \dfrac{2}{7}\) thay vào (1) ta có \({y_0} =  \pm \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}.\) 

Vậy \(A\left( {\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right),B\left( {\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)\) hoặc \(A\left( {\dfrac{2}{7}; - \dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right),B\left( {\dfrac{2}{7};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài