Bài 3.61 trang 168 SBT hình học 10

Giải bài 3.61 trang 168 sách bài tập hình học 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)...

Quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)  : \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4\) và đường thẳng \(d:x - y - 1 = 0\). Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C’) và (C).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\).

- Tìm tọa độ điểm \(J\) đối xứng với \(I\) qua \(d\).

- Đường tròn \(\left( {C'} \right)\) đối xứng \(\left( C \right)\) qua \(d\) thì có tâm \(J\) và bán kính \(R\).

- Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của hai đường tròn. Tìm nghiệm và kết luận.

Lời giải chi tiết

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right).\) 

Do đó đường thẳng \(\Delta \) đi qua tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và vuông góc với d nên nhận \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT.

\(\Delta\) có phương trình :

\(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)

Tọa độ giao điểm H của d và \(\Delta \) là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\x + y - 3 = 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right. \) \(\Rightarrow H\left( {2;1} \right)\) 

Gọi J là điểm đối xứng của I qua d. Khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_J} = 2{x_H} - {x_I} = 3\\{y_J} = 2{y_H} - {y_I} = 0\end{array} \right. \) \(\Rightarrow J(3;0).\)  

Vì (C ’) đối xứng với (C ) qua d nên (C ’) có tâm là \(J\left( {3;0} \right)\) và bán kính R = 2.

Do đó (C ’) có phương trình là : \({\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\)

Tọa độ các giao điểm của (C ) và (C ’) là nghiệm của hệ phương trình :

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y - 1 = 0\\{\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = x - 1\\2{x^2} - 8x + 6 = 0\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1,y = 0\\x = 3,y = 2.\end{array} \right.\) 

Vậy tọa độ giao điểm của (C ) và (C ’) là A(1 ; 0) và B(3 ; 2).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài