Bài 3.56 trang 167 SBT hình học 10

Giải bài 3.56 trang 167 sách bài tập hình học 10. Giải bài 3.56 trang 167 sách bài tập hình học 10...

Quảng cáo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 2;2) và các đường thẳng \({d_1}:x + y - 2 = 0\), \({d_2}:x + y - 8 = 0\).

 Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc  \({d_1}\) và \({d_2}\) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tham số hóa tọa độ của \(B,C\).

- Sử dụng điều kiện \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\\AB = AC\end{array} \right.\) lập hệ phương trình.

- Giải hệ phương trình và kết luận.

Lời giải chi tiết

Vì \(B \in {d_1},C \in {d_2}\) nên \(B\left( {b;2 - b} \right),C\left( {c;8 - c} \right).\)

Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \left( {b - 2; - b} \right),\) \(\overrightarrow {AC}  = \left( {b - 2;6 - c} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) \( = \left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right) - b\left( {6 - c} \right)\) \( = bc - 2c - 2b + 4 - 6b + bc\) \( = 2bc - 8b - 2c + 4\) \( = 2\left( {bc - 4b - c + 2} \right)\)

Tam giác ABC vuông cân tại A

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\\AB = AC\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}bc - 4b - c + 2 = 0\\{b^2} - 2b = {c^2} - 8c + 18\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(b - 1)(c - 4) = 2\\{(b - 1)^2}-{(c - 4)^2} = 3.\end{array} \right.\) 

Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ :   

\(\left\{ \begin{array}{l}x.y = 2\\{x^2} - {y^2} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 1\end{array} \right.\)   hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1.\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b = x + 1 =  - 2 + 1 =  - 1\\c = y + 4 =  - 1 + 4 = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1;3} \right)\\C\left( {3;5} \right)\end{array} \right.\)

Hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}b = x + 1 = 2 + 1 = 3\\c = y + 4 = 1 + 4 = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( {3; - 1} \right)\\C\left( {5;3} \right)\end{array} \right.\)

Vậy B(-1 ; 3), C(3 ; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5;3)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài