Bài 3.55 trang 167 SBT hình học 10

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.

Lời giải chi tiết

Ta có \(M\left( { - 1;0} \right),N\left( {1; - 2} \right), \overrightarrow {AC} = \left( {4; - 4} \right)\) .

Giả sử \(H\left( {x;y} \right)\). Ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH}  \bot \overrightarrow {AC} \\H \in AC\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4(x + 2) - 4(y + 2) = 0\\4x + 4(y - 2) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {1;1} \right).\)

Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là:

\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\,(1).\)

Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2a - c = 1\\2a - 4b + c =  - 5\\2a + 2b + c =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{1}{2}\\c =  - 2.\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: \({x^2} + {y^2} - x + y - 2 = 0\).

Loigiaihay.com