Giải bài 3.14 trang 44 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $M = \sin {45^o}.\cos {45^o} + \sin {30^o}$

b) $N = \sin {60^o}.\cos {30^o} + \frac{1}{2}.\sin {45^o}.\cos {45^o}$

c) $P = 1 + {\tan ^2}{60^o}$

d) $Q = \frac{1}{{{{\sin }^2}{{120}^o}}} - {\cot ^2}{120^o}.$

Lời giải chi tiết

a) $M = \sin {45^o}.\cos {45^o} + \sin {30^o}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\sin {45^o} = \cos {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\;\\\sin {30^o} = \frac{1}{2}\end{array} \right.$

Thay vào M, ta được: $M = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{4} + \frac{1}{2} = 1$

b) $N = \sin {60^o}.\cos {30^o} + \frac{1}{2}.\sin {45^o}.\cos {45^o}$

Ta có: $\sin {60^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cos {30^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\sin {45^o} = \frac{{\sqrt 2 }}{2};\, \cos {45^o}= \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Thay vào N, ta được: $N = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$

c) $P = 1 + {\tan ^2}{60^o}$

Ta có: $\tan {60^o} = \sqrt 3$

Thay vào P, ta được: $Q = 1 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 4.$

d) $Q = \frac{1}{{{{\sin }^2}{{120}^o}}} - {\cot ^2}{120^o}.$

Ta có: $\sin {120^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2};\;\;\cot {120^o} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}$

Thay vào P, ta được: $Q = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} - \;{\left( {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)^2} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} - \;\frac{1}{3} = \;\frac{4}{3} - \;\frac{1}{3} = 1.$