Bài 3.14 trang 118 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 3.14 trang 118 sách bài tập đại số và giải tích 11. Cho dãy số ...

Quảng cáo

➡ Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay! Góp ý ngay!💘

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thoả mãn điều kiện: Với mọi \(n \in N*\) thì \(0 < {u_n} < 1\) và \({u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}\)

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) và suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Vì \(0 < {u_n} < 1\) với mọi \(n\) nên \(1 - {u_{n + 1}} > 0.\) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) \le \dfrac{1}{4}.\)

Mặt khác, từ giả thiết

\({u_{n + 1}} < 1 - \dfrac{1}{{4{u_n}}}\) suy ra  \({u_{n + 1}}.{u_n} < {u_n} - \dfrac{1}{4}\) hay \(\dfrac{1}{4} < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right).\)

So sánh (1) và (2) ta có: \({u_{n + 1}}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right) < {u_n}\left( {1 - {u_{n + 1}}} \right)\) hay \({u_{n + 1}} < {u_n}.\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Xem thêm tại đây: Bài 2: Dãy số
Gửi bài tập - Có ngay lời giải