Bài 3.11 trang 139 SBT hình học 11

Giải bài 3.11 trang 139 sách bài tập hình học 11. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC...

Quảng cáo

➡ Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay! Góp ý ngay!💘

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = AB = AC = a\) và \(BC = a\sqrt 2 \). Tính góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SC\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức: \( \cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết

Cách thứ nhất

Dễ thấy tam giác ABC vuông tại A nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  = 0\) và tam giác SAB đều nên \(\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {120^0}\).

\(\eqalign{
& \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AB} \cr 
& = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \cr 
& \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos 120^\circ = - {{{a^2}} \over 2} \cr 
& \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = {{\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} } \over {\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}} \cr 
& = {{ - {{{a^2}} \over 2}} \over {{a^2}}} = - {1 \over 2} \cr}\)

Do đó góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \( AB\) bằng 60°.

Cách thứ hai

Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của \(SA, SB, AC\). Để tính góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\), ta cần tính \(\widehat {NMP}\).

Ta có

\(NB = MP = {a \over 2},S{P^2} = {{3{a^2}} \over 4},B{P^2} = {{5{a^2}} \over 4}\)

\(P{B^2} + S{P^2} = 2N{P^2} + {{S{B^2}} \over 2} \Rightarrow N{P^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 4}\)

Mặt khác:

\(N{P^2} = N{M^2} + M{P^2} - 2MN.MP\cos \widehat {NMP}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {NMP} =  - {{{{{a^2}} \over 4}} \over {2.{a \over 2}.{a \over 2}}} =  - {1 \over 2} \Rightarrow \widehat {NMP} = {120^0}\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng \(SC\) và \(AB\) bằng 60°.

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

  • Bài 3.12 trang 139 SBT hình học 11

    Bài 3.12 trang 139 SBT hình học 11

    Giải bài 3.12 trang 139 sách bài tập hình học 11. Chứng minh rằng một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

  • Bài 3.13 trang 139 SBT hình học 11

    Bài 3.13 trang 139 SBT hình học 11

    Giải bài 3.13 trang 139 sách bài tập hình học 11. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau ( hình hộp như vậy còn được gọi là hình hộp thoi). Chứng minh rằng AC ⊥ B’D’

  • Bài 3.14 trang 139 SBT hình học 11

    Bài 3.14 trang 139 SBT hình học 11

    Giải bài 3.14 trang 139 sách bài tập hình học 11. Chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông...

  • Bài 3.15 trang 139 SBT hình học 11

    Bài 3.15 trang 139 SBT hình học 11

    Giải bài 3.15 trang 139 sách bài tập hình học 11. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau...

Gửi bài tập - Có ngay lời giải