Bài 2.5 trang 31 SBT đại số 10

LG a

 $y =  - 2x + 3$ trên R.

Phương pháp giải:

Xét $T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}$.

Nếu $T > 0\;\forall x \in K$ , với K là tâp đang xét, thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên K

Nếu $T < 0\;\forall x \in K$ , với K là tâp đang xét, thì hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét $y = f(x) = 2x + 3$ trên R

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}} {T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {2{x_2} + 3} \right) - \left( {2{x_1} + 3} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\ { = \frac{{2{x_2} + 3 - 2{x_1} - 3}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{2({x_2} - {x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2 > 0} \end{array}$

Vậy hàm số $y = 2x + 3$ đồng biến trên R.

LG b

 $y = {x^2} + 10x + 9$ trên $( - 5; + \infty )$;

Phương pháp giải:

Xét $T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}$.

Nếu $T > 0\;\forall x \in K$ , với K là tâp đang xét, thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên K

Nếu $T < 0\;\forall x \in K$ , với K là tâp đang xét, thì hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: $y = f(x) = {x^2} + 10x + 9$

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}} {y = f(x) = {x^2} + 10x + 9}\\ {T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {{x_2}^2 + 10{x_2} + 9} \right) - \left( {{x_1}^2 + 10{x_1} + 9} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\ { = \frac{{{x_2}^2 + 10{x_2} + 9 - {x_1}^2 - 10{x_1} - 9}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{{x_2}^2 - {x_1}^2 + 10{x_2} - 10{x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\ { = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1} + 10} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_2} + {x_1} + 10.} \end{array}$

Mà ${x_2},{x_1} >  - 5 \Rightarrow {x_2} + {x_1} + 10 > 0$ hay T > 0.

Vậy hàm số $y = f(x) = {x^2} + 10x + 9$ đồng biến trên $\left( { - 5; + \infty } \right)$

LG c

 $y =  - \dfrac{1}{{x + 1}}$ trên $( - 3; - 2)$ và (2 ;3).

Phương pháp giải:

Xét $T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}$.

Nếu $T > 0\;\forall x \in K$ , với K là tâp đang xét, thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên K

Nếu $T < 0\;\forall x \in K$ , với K là tâp đang xét, thì hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình: $y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}$ trên $( - 3; - 2)$ và $(2;3)$

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}} {T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\frac{1}{{{x_2} + 1}} - \frac{1}{{{x_1} + 1}}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\ { = \frac{{\frac{{{x_1} + 1}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}} - \frac{{{x_2} + 1}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\ { = \frac{{\frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}}} \end{array}$

Dễ thấy:

+ Với $x \in ( - 3; - 2)$

$\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2},{x_1} \in ( - 3; - 2) \Rightarrow {x_2} + 1;{x_1} + 1 < 0}\\ { \Rightarrow \left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right) > 0 \Rightarrow T < 0} \end{array}$

Vậy hàm số $y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}$ nghịch biến trên $( - 3; - 2)$

+ Với $x \in (2;3)$

$\begin{array}{*{20}{l}} {{x_2},{x_1} \in (2;3) \Rightarrow {x_2} + 1;{x_1} + 1 > 0}\\ { \Rightarrow \left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right) > 0 \Rightarrow T < 0} \end{array}$

Vậy hàm số $y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}$ nghịch biến trên $( 2;3)$