Bài 2.5 trang 31 SBT đại số 10

Giải bài 2.5 trang 31 sách bài tập đại số 10. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng

LG a

 \(y =  - 2x + 3\) trên R.

Phương pháp giải:

Xét \(T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\).

Nếu \(T > 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên K

Nếu \(T < 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét \(y = f(x) = 2x + 3\) trên R

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {2{x_2} + 3} \right) - \left( {2{x_1} + 3} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{2{x_2} + 3 - 2{x_1} - 3}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{2({x_2} - {x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = 2 > 0}
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = 2x + 3\) đồng biến trên R.

LG b

 \(y = {x^2} + 10x + 9\) trên \(( - 5; + \infty )\);

Phương pháp giải:

Xét \(T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\).

Nếu \(T > 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên K

Nếu \(T < 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số: \(y = f(x) = {x^2} + 10x + 9\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{y = f(x) = {x^2} + 10x + 9}\\
{T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\left( {{x_2}^2 + 10{x_2} + 9} \right) - \left( {{x_1}^2 + 10{x_1} + 9} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{{x_2}^2 + 10{x_2} + 9 - {x_1}^2 - 10{x_1} - 9}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{{x_2}^2 - {x_1}^2 + 10{x_2} - 10{x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} + {x_1} + 10} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = {x_2} + {x_1} + 10.}
\end{array}\)

Mà \({x_2},{x_1} >  - 5 \Rightarrow {x_2} + {x_1} + 10 > 0\) hay T > 0.

Vậy hàm số \(y = f(x) = {x^2} + 10x + 9\) đồng biến trên \(\left( { - 5; + \infty } \right)\)

LG c

 \(y =  - \dfrac{1}{{x + 1}}\) trên \(( - 3; - 2)\) và (2 ;3).

Phương pháp giải:

Xét \(T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\).

Nếu \(T > 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên K

Nếu \(T < 0\;\forall x \in K\) , với K là tâp đang xét, thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên K

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình: \(y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\) trên \(( - 3; - 2)\) và \((2;3)\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{T = \frac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{\frac{1}{{{x_2} + 1}} - \frac{1}{{{x_1} + 1}}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{\frac{{{x_1} + 1}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}} - \frac{{{x_2} + 1}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}}}{{{x_2} - {x_1}}}}\\
{ = \frac{{\frac{{{x_1} - {x_2}}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \frac{{ - 1}}{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right)}}}
\end{array}\)

Dễ thấy:

+ Với \(x \in ( - 3; - 2)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_2},{x_1} \in ( - 3; - 2) \Rightarrow {x_2} + 1;{x_1} + 1 < 0}\\
{ \Rightarrow \left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right) > 0 \Rightarrow T < 0}
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\) nghịch biến trên \(( - 3; - 2)\)

+ Với \(x \in (2;3)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_2},{x_1} \in (2;3) \Rightarrow {x_2} + 1;{x_1} + 1 > 0}\\
{ \Rightarrow \left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_1} + 1} \right) > 0 \Rightarrow T < 0}
\end{array}\)

Vậy hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\) nghịch biến trên \(( 2;3)\)

Xem thêm tại đây: Bài 1: Hàm số
Quảng cáo
list
close
Gửi bài