Bài 2.35 trang 102 SBT hình học 10

Giải bài 2.35 trang 102 sách bài tập hình học 10. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:

LG a

\(\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\);

Phương pháp giải:

- Chứng minh công thức \(a = b\cos C + c\cos B\).

- Sử dụng định lý sin trong tam giác \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\) và thay vào đẳng thức trên.

Giải chi tiết:

Ta chứng minh công thức: \(a = b\cos C + c\cos B\)

Thật vậy, \(\cos B = \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}};\) \(\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Do đó \(b\cos C + c\cos B\) \( = b.\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} + c.\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\)

\( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2a}} + \dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2a}}\) \( = \dfrac{{2{a^2}}}{{2a}} = a\) nên \(a = b\cos C + c\cos B\).

Theo định lý sin ta có: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Do đó: \(a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\).

Thay các giá trị này vào công thức \(a = b\cos C + c\cos B\) ta có:

\(2R\sin A = 2R\sin B\cos C + 2R\sin C\cos B\)

\( \Rightarrow \sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos C.\)

Chú ý: Các em cũng có thể sử dụng phối hợp định lý cô sin và định lý sin trong tam giác để thay trực tiếp vào vế phải của đẳng thức cần chứng minh rồi biến đổi về vế trái.

LG b

\({h_a} = 2R\sin B\sin C\)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}a{h_a}\) và \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

Giải chi tiết:

Ta có: \(\dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)\( \Rightarrow \sin B = \dfrac{b}{{2R}},\sin C = \dfrac{c}{{2R}}\)

Khi đó \(2R\sin B\sin C\) \( = 2R.\dfrac{b}{{2R}}.\dfrac{c}{{2R}} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\).

Lại có: \(S = \dfrac{{abc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}a{h_a}\) \( \Rightarrow \dfrac{{bc}}{{4R}} = \dfrac{1}{2}{h_a} \Leftrightarrow {h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}}\)

Vậy \({h_a} = 2R\sin B\sin C\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close