Bài 2 trang 101 SBT toán 7 tập 2

Đề bài

Cho góc vuông \(xOy,\) điểm \(A\) thuộc tia \(Ox,\) điểm \(B\) thuộc tia \(Oy.\) Gọi \(D, E\) theo thứ tự là trung điểm của \(OA, OB.\) Đường vuông góc với \(OA\) tại \(D\) và đường vuông góc với \(OB\) tại \(E\) cắt nhau ở \(C.\) Chứng minh rằng:

a) \(CE = OD;\)        b) \( CE ⊥ CD;\)

c) \(CA = CB;\)        d) \(CA // DE;\) 

e) Ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(CE \bot OB;\,OA \bot OB \Rightarrow EC//OA\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

+) Vì \(EC//OD\) nên \(\widehat {ECO} = \widehat {COD}\) (so le trong) 

Xét \(\Delta OEC\) vuông tại \(E\)  và \(\Delta COD\) vuông tại \(D\)  có: 

+) \(\widehat {ECO} = \widehat {COD}\) (chứng minh trên)

+) \(OD\) cạnh chung

Nên \(\Delta OEC = \Delta COD\left( {ch - gn} \right)\)\( \Rightarrow EC = OD\) (hai cạnh tương ứng)

b) Vì \(CD \bot OA;OB \bot OA \Rightarrow CD//OB\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Mà \(CE \bot OB \Rightarrow CE \bot CD\)  (quan hệ từ vuông góc đến song song)

c) Ta có \(CE\) là đường trung trực của đoạn \(OB \Rightarrow CB = CO\) (tính chất đường trung trực)

Và \(CD\) là đường trung trực của đoạn \(OA \Rightarrow CA = CO\) (tính chất đường trung trực)

Suy ra \(CA = CB\,\left( { = CO} \right).\)

d) Theo câu a) ta có \(EC = OD\) mà \(OD = DA = \dfrac{{OA}}{2} \)\(\Rightarrow EC = AD\)

Xét \(\Delta CED\) và \(\Delta DAC\) có:

+) \(EC = AD\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat {CDA} = \widehat {ECD} = 90^\circ \)

+) \(DC\) cạnh chung

Suy ra \(\Delta CED = \Delta DAC\left( {c - g - c} \right) \)\(\Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {DCA}\)

Mà hai góc \(\widehat {CDE};\,\widehat {DCA}\) ở vị trí so le trong nên suy ra \(ED//AC\)

e) Cách 1:

Tương tự câu d) ta có \(BC//ED\)

Mà theo câu d) thì \(AC//ED\)

Theo tiên đề Ơ-clit ta suy ra \(B,C,A\) thẳng hàng.

Cách 2: 

Vì \(OC=CA\) (chứng minh trên) nên tam giác \(OAC\) cân tại \(C\)

Do đó, đường cao \(CD\) cũng là đường phân giác góc ACO

Nên \(\widehat {OCA} = 2.\widehat {OCD}\)

Vì \(CB=CO\) (chứng minh trên) nên tam giác \(OBC\) cân tại \(C\)

Do đó, đường cao \(CE\) cũng là đường phân giác góc BCO

Nên \(\widehat {BCO} = 2.\widehat {ECO}\)

Mà \(CE \bot CD\) (theo câu b) nên \(\widehat {ECD} = {90^0}\)

Do đó: 

\(\widehat {BCO} + \widehat {ACO} = 2\left( {\widehat {ECO} + \widehat {OCD}} \right) \)\(= 2.\widehat {ECD} = {2.90^0} = {180^0}\)

Vậy A, C, B thẳng hàng.

Loigiaihay.com