Bài 1.52 trang 40 SBT đại số và giải tích 11Giải bài 1.52 trang 40 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giải các phương trình sau... Quảng cáo
Đề bài Giải phương trình sau \(\cot x - 1 = \) \(\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\). Phương pháp giải - Xem chi tiết Tìm ĐKXĐ của phương trình. ĐKXĐ của hàm số dạng \(y = \dfrac{{f(x)}}{{g(x)}}\) là \(g(x) \ne 0\). Sử dụng công thức \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\); công thức nhân đôi \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\); \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\); \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\); \(\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\) để đưa phương trình về phương trình của hàm \(\tan x\). Sau đó ta đặt \(t = \tan x\) để phương trình dễ nhìn hơn. Sử dụng hằng đẳng thức số ba \({a^2} - {b^2} = (a - b)(a + b)\) để thu gọn phương trình. Lời giải chi tiết ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0\); \(\cos x \ne 0\) và \(\tan x \ne - 1\). Ta có: \(\cot x = \dfrac{1}{{\tan x}}\); \(\begin{array}{l}\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\\ = 2\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} - 1\\ = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\); \(\begin{array}{l}{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\ = 1 - \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}} = \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\); \(\begin{array}{l} - \dfrac{1}{2}\sin 2x = - \sin x\cos x\\ = - \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}{\cos ^2}x = - \tan x\dfrac{1}{{{{\tan }^2}x + 1}}\end{array}\) Phương trình \(\cot x - 1 \) \(=\dfrac{{\cos 2x}}{{1 + \tan x}} + {\sin ^2}x - \dfrac{1}{2}\sin 2x\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\tan x}} - 1 \) \(=\dfrac{{\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}}}}{{1 + \tan x}} + \dfrac{{{{\tan }^2}x}}{{{{\tan }^2}x + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm \tan x}\nolimits} }{{{{\tan }^2}x + 1}}\) Đặt \(t = \tan x\) ta được \(\dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{\dfrac{{1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} }} + \dfrac{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}}{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}} - \dfrac{{\mathop{\rm t}\nolimits} }{{{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2} + 1}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{t} - 1 = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{{t^2} - t}}{{{t^2} + 1}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - t}}{t} = \dfrac{{1 - t}}{{{t^2} + 1}} + \dfrac{{t(t - 1)}}{{{t^2} + 1}}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - t = 0\\\dfrac{1}{t} = \dfrac{1}{{{t^2} + 1}} - \dfrac{t}{{{t^2} + 1}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\{t^2} + 1 = (1 - t)t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\2{t^2} - t + 1 = 0\text{(vô nghiệm)}\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\text{(thỏa mãn)}\end{array}\) Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\). Cách khác: Điều kiện của phương trình: sinx ≠ 0, cos ≠ 0, tan ≠ -1. Biến đổi tương đương đã cho, ta được Phương trình (2) vô nghiệm vì |sin2x + cos2x| ≥ √2. Phương trình (1) có nghiệm 2x = π/2+kπ,k ∈ Z ⇒ x = π/4+ k π/2,k ∈ Z. Giá trị x = π/4+ k π/2, k = 2n + 1, với n ∈ Z bị loại do điều kiện tanx ≠ -1. Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \in \mathbb{Z}\). Loigiaihay.com
Quảng cáo
|