Bài 1.54 trang 41 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 1.54 trang 41 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tập giá trị của hàm số y=...

Quảng cáo

Đề bài

Tập giá trị của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\) là

A. \(\left[{2;5}\right]\)

B. \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\)

C. \(\left[{\dfrac{4}{3};3+\sqrt{3}}\right]\)

D. \(\left[{\dfrac{5}{4};4}\right]\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tập giá trị của hàm số được giới hạn bởi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đó nên mục tiêu của bài là tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\).

- Sử dụng hàm số \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\).

- Đặt \(t=\sin x\) khi đó \(-1\le t\le 1\).

- Cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số dạng \(y=ax^2+bx+c\) là thêm bớt để hàm số có chứa hằng đẳng thức, cụ thể như sau

Hàm số \(y=ax^2+bx+c\)

\(=a(x^2+\dfrac{b}{a}x)+c\)

\(=a\left[{x^2+2.x.\dfrac{b}{2a}+{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2}\right]-\)

\(a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

\(=a{\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

Do \({\left({x+\dfrac{b}{2a}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó

\(y\ge -a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=ax^2+bx+c\) là \(-a{\left({\dfrac{b}{2a}}\right)}^2+c\) đạt được khi \(x=-\dfrac{b}{2a}\).

Lời giải chi tiết

Vì \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

Đặt \(u=\sin x\) khi đó \(-1\le u\le 1\) 

Hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2 \)

\(\Leftrightarrow y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

- Tìm giá trị lớn nhất

Ta có \(-1\le u\le 1\) nên \(u^2\le 1\) và \(u\le1\)

Nên khi đó \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\le 1+\sqrt{3}.1+2\)

\(=3+\sqrt{3}\)

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là \(3+\sqrt{3}\) tại \(u=1\)\(\Leftrightarrow \sin x=1\).

- Tìm giá trị nhỏ nhất

Hàm số \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

\(=\left[{u^2+2u\dfrac{\sqrt{3}}{2}+{\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}\right]-\)

\({\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+2\)

\(={\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+\dfrac{5}{4}\)

Do \({\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó

\(y\ge \dfrac{5}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\dfrac{5}{4}\) đạt được khi \(u=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\).

Cách trắc nghiệm:

Với sinx = -1 thì y = 3 - √3 < 4/3 nên các phương án A và C bị loại.

Với sinx = 1 thì y = 3 + √3 > 4 nên phương án D bị loại.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài