Bài 1.50 trang 40 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 1.50 trang 40 sách bài tập đại số và giải tích 11. Giải các phương trình sau...

Quảng cáo

➡ Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay! Góp ý ngay!💘

Đề bài

Giải phương trình sau

\(3\sin x-4\cos x=1\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

-Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\)

Biến đổi \(VT\) phương trình về dạng

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)\)

trong đó \(\cos \alpha=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin \alpha=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\) từ đó phương trình trở thành phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

-Nghĩa là ta chia hai vế phương trình cho \(\sqrt{a^2+b^2}\)

-Sử dụng công thức \(\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\) để thu gọn phương trình

-Phương trình \(\sin x=a\)

Nếu \(|a|>1\) phương trình vô nghiệm

Nếu \(|a|\le 1\) khi đó phương trình có nghiệm là

\(x=\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

và \(x=\pi-\arcsin a+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(3\sin x-4\cos x=1\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{3}{5}\sin x-\dfrac{4}{5}\cos x=\dfrac{1}{5}\)

Đặt \(\cos\alpha=\dfrac{3}{5}\) và \(\sin\alpha =\dfrac{4}{5}\) ta được

\(\cos \alpha\sin x-\sin \alpha\cos x=\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow \sin (x-\alpha)=\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x-\alpha = \arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x-\alpha=\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x=\alpha +\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x=\alpha+\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x=\alpha +\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) và \(x=\alpha+\pi-\arcsin\dfrac{1}{5}+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Gửi bài tập - Có ngay lời giải