Bài 1.3 trang 12 SBT đại số và giải tích 11

Giải bài 1.3 trang 12 sách bài tập đại số và giải tích 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số

LG a

\(y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le  - 2\left| {\sin x} \right| \le 0\\ \Leftrightarrow 3 - 2 \le 3 - 2\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| \le 3\\ \Leftrightarrow 1 \le 3 - 2\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| \le 3\end{array}\)

Vậy GTLN của hàm số \(y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\) là 3 đạt được khi

\(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

GTNN của hàm số \(y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\)  là 1 đạt được khi 

\(\sin x =  \pm 1 \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

LG b

\(y = \cos x + \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức phân tích tổng thành tích thu gọn hàm số.

Sử dụng lý thuyết \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\) để đánh giá biểu thức ở trên.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cos x + \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 2\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right)\cos \dfrac{\pi }{6}\\ = \sqrt 3 \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right)\end{array}\)

Do \( - 1 \le \cos (x - \dfrac{\pi }{6}) \le 1\)

\( \Leftrightarrow  - \sqrt 3  \le \sqrt 3 \cos (x - \dfrac{\pi }{6}) \le \sqrt 3 \)

Vậy hàm số  \(y = \cos x + \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\) có GTLN là \(\sqrt 3 \) đạt được khi \(\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{6} = k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

GTNN là\( - \sqrt 3 \) đạt được khi \(\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi }{6} = \pi  + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

LG c

\(y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức

Sử dụng lý thuyết \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\) để đánh giá biểu thức ở trên.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({\cos ^2}x + 2\cos 2x\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} + 2\cos 2x\\ = \dfrac{{1 + 5\cos 2x}}{2}\end{array}\)

Do \( - 1 \le \cos 2x \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 5 \le 5\cos 2x \le 5\\ \Leftrightarrow 1 - 5 \le 1 + 5\cos 2x \le 1 + 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 - 5}}{2} \le \dfrac{{1 + 5\cos 2x}}{2} \le \dfrac{{1 + 5}}{2}\\ \Leftrightarrow  - 2 \le \dfrac{{1 + 5\cos 2x}}{2} \le 3\end{array}\)

Vậy hàm số  \(y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\) có GTLN là \(3\)

đạt được khi \(\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

GTNN là \( - 2\)  đạt được khi \(\cos 2x =  - 1 \Leftrightarrow 2x = \pi  + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

LG d

\(y = \sqrt {5 - 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi để thu gọn biểu thức

Hàm số \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 0 \le \left| {\sin x} \right| \le 1\\ \Leftrightarrow 0 \le {\sin ^2}x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(5 - 2{\cos ^2}x{\sin ^2}x = 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x\)

Do \(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\)

 \(\begin{array}{l}\Leftrightarrow  - 1 \le  - {\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le  - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow 5 - \dfrac{1}{2} \le 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{9}{2} \le 5 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} \le \sqrt {5 - \dfrac{1}{2}{{\sin }^2}2x}  \le \sqrt 5 \end{array}\)

Vậy hàm số  \(y = \sqrt {5 - 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \) có GTLN là \(\sqrt 5 \)  đạt được khi \( - {\sin ^2}2x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = k\pi \\ \Leftrightarrow x = k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

GTNN là \(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)  đạt được khi \( - {\sin ^2}2x =  - 1 \Leftrightarrow \sin 2x =  \pm 1\)

\( \Leftrightarrow 2x =  \pm \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\dfrac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}\).

 Loigiaihay.com

Quảng cáo

Xem thêm tại đây: Bài 1: Hàm số lượng giác
Gửi bài