Bài 1.27 trang 31 SBT hình học 10

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có trung tuyến AM (\(M\) là trung điểm của \(BC\)). Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Lời giải chi tiết

Gọi \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC\).

ME là đường trung bình tam giác nên ME//AC và \(ME= \frac{1}{2}AC\)

Mà \(AF = \frac{1}{2}AC\) nên ME=AF.

Lại có ME//AF nên tứ giác \(AFME\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {AF}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).

Chú ý:

Có thể chứng minh cách khác như sau:

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(2\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \)

Hay \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)

Cách 3:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} \\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\\
= \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \\
= \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}
\end{array}\)

Loigiaihay.com