Bài 1.24 trang 25 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Nghiệm lớn nhất của phương trình $\sin 3x-\cos x=0$ thuộc đoạn $\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ là

A. $\dfrac{3\pi}{2}$                B. $\dfrac{4\pi}{3}$

C. $\dfrac{5\pi}{4}$                D. $\pi$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sin 3x-\cos x=0$

$\Leftrightarrow \sin 3x=\cos x$

$\Leftrightarrow \sin 3x=\sin (\dfrac{\pi}{2}-x)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2}-x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\3x= \pi-(\dfrac{\pi}{2}-x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \\ 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}  \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2} ,k \in \mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

Trong đoạn $\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$, với $x=\dfrac{\pi}{8}+k\dfrac{\pi}{2}$ ta có 4 giá trị là $-\dfrac{3\pi}{8}$, $\dfrac{\pi}{8}$, $\dfrac{5\pi}{8}$ và $\dfrac{9\pi}{8}$ ứng với các giá trị $k=-1$, $0$, $1$ và $2$ trong đó $\dfrac{9\pi}{8}$ là giá trị lớn nhất.

Với $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ ta có 2 giá trị là $\dfrac{\pi}{4}$ và$\dfrac{5\pi}{4}$ ứng với các giá trị $k=-1$, $0$ và $1$ trong đó $\dfrac{5\pi}{4}$ là giá trị lớn nhất.

Vì $\dfrac{5\pi}{4} > \dfrac{9\pi}{8}$ nên $\dfrac{5\pi}{4}$ là nghiệm lớn nhất của phương trình trong $\left[ { -\frac{{\pi }}{2} ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$

Đáp án: C.

Cách trắc nghiệm:

Ta xét các giá trị từ lớn tới nhỏ trong các phương án.

Với giá trị lớn nhất 4π/3 trong phương án B, ta thấy sin3x = 0 nhưng cosx ≠ 0 nên phương án B bị loại.

Với giá trị x = 5π/3 trong phương án C thì sin3x = (-√2)/2, cos5π/3 = (-√2)/2 nên 5π/4 là nghiệm của phương trình.

Loigiaihay.com