Bài 1.17 trang 24 SBT đại số và giải tích 11

LG a

$\cos 3x - \sin 2x = 0$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng $\cos a=\cos b$

Khi đó $a=\pm b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\cos 3x-\sin 2x=0$

$\Leftrightarrow\cos 3x=\sin 2x$

$\Leftrightarrow\cos 3x=\cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\ 3x = - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}5x = \dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\\x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{k2\pi }}{5},k\in\mathbb{Z} \\ x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k\in\mathbb{Z}  \end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x = \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{2\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}$

và $x = -\dfrac{\pi}{2}+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

Quảng cáo

LG b

$\tan x\tan 2x = -1$

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của $\tan x$ và $\tan 2x$ là $\cos x\ne0$ và $\cos 2x\ne0$

Biến đổi $\tan x=\dfrac{\ sin x}{\cos x}$

Áp dụng công thức cosin của một hiệu: $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \cos x\ne0\\\cos 2x\ne0\end{array} \right.$

Ta có: $\tan x\tan 2x = -1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1$

$\Rightarrow \sin x\sin 2x=-\cos x\cos 2x$

$\Leftrightarrow \cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=0$

$\Leftrightarrow \cos (2x-x)=0$

$\Leftrightarrow \cos x=0$

Kết hợp với điều kiện khi đó phương trình vô nghiệm.

LG c

$\sin 3x+\sin 5x = 0$

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng $\sin a=\sin b$

Khi đó $a=b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$ và $a=\pi-b+k2\pi ,k\in\mathbb{Z}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\sin 3x+\sin 5x=0$

$\Leftrightarrow \sin 5x=-\sin 3x$

$\Leftrightarrow \sin 5x=\sin (-3x)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5x = -3x+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\5x= \pi-(-3x)+k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 8x = k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \\ 2x = \pi + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}  \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là:

$x=k\dfrac{\pi}{4} ,k\in\mathbb{Z}$

và $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

Cách khác:

sin3x + sin5x = 0

⇔ 2sin4x. cosx = 0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 4x = 0\\ \cos x = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 4x = k\pi \\ x = \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{k\pi }}{4}, k\in\mathbb{Z}\\ x = \frac{\pi }{2} + k\pi , k\in\mathbb{Z}  \end{array} \right. \end{array}$

LG d

$\cot 2x\cot 3x= 1$.

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của $\cot 2x$ và $\cot 3x$ là $\sin 2x\ne0$ và $\sin 3x\ne0$

Biến đổi $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

Áp dụng công thức cosin của một tổng: $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

Tìm điều kiện xác định của $\cot 2x$ và $\cot 3x$ là $\sin 2x\ne0$ và $\sin 3x\ne0$

Biến đổi $\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$

Áp dụng công thức cosin của một tổng: $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l} \sin 2x\ne0\\\sin 3x\ne0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\\3x\ne m\pi ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\x\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Ta có: $\cot 2x\cot 3x = 1$

$\Leftrightarrow \dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}\dfrac{\cos 3x}{\sin 3x}=1$

$\Rightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x$

$\Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0$

$\Leftrightarrow \cos (2x+3x)=0$

$\Leftrightarrow \cos 5x=0$

$\Leftrightarrow 5x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi ,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}$

Với điều kiện ở trên khi đó:

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}\ne m\dfrac{\pi}{3} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} k\ne\dfrac{5m-1}{2} ,m\in\mathbb{Z}\\k\ne\dfrac{10m-3}{6} ,m\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5} ,k\in\mathbb{Z}$

với $k\ne\dfrac{5m-1}{2}$ và $k\ne\dfrac{10m-3}{6}$  $m\in\mathbb{Z}$.

Chú ý:

Một cách loại nghiệm khác như sau:

Với k = 2 + 5m, m ∈ Z thì

$\begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{10}} + \left( {2 + 5m} \right).\frac{\pi }{5}\\ = \frac{\pi }{{10}} + \frac{{2\pi }}{5} + m\pi \\ = \frac{\pi }{2} + m\pi \end{array}$

nên k = 2 + 5m không thỏa mãn điều kiện xác định.

 Loigiaihay.com