Giải mục 2 trang 24,25,26 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Tính thể tích hình khối

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

KP3

Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 24 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Trong không gian, cho hình chóp O.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, OA(ABCD), OA=h. Đặt trục số Ox như hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0<xh), cắt hình chóp O.ABCD theo mặt cắt là hình vuông ABCD. Kí hiệu S(x) là diện tích của hình vuông ABCD.

a) Tính S(x) theo a, hx.

b) Tính h0S(x)dx và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCD

Phương pháp giải:

a) Do ABCD là hình vuông, nên S(x)=AD2

Tam giác OADADAD nên OAOA=ADAD, từ đó tính được AD, sau đó tính S(x).

b) Tính h0S(x)dx và thể tích khối chóp O.ABCD và so sánh các kết quả với nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Do ABCD là hình vuông, nên S(x)=AD2

Tam giác OADADAD nên OAOA=ADADAD=OA.ADOA=x.ah

Suy ra S(x)=AD2=(x.ah)2=a2h2x2

b) Ta có: h0S(x)dx=a2h2h0x2dx=a2h2(x33)|h0=a2h2.h33=a2h3

Thể tích khối chóp O.ABCDVO.ABCD=13.a2.h=a2h3

Như vậy VO.ABCD=h0S(x)dx

TH5

Trả lời câu hỏi Thực hành 5 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một bình chứa nước có dạng như hình 11. Biết rằng khi nước ở trong bình có chiều cao x (dm) (0x4) thì mặt nước là hình vuông có cạnh 2+x24 (dm). Tính dung tích của bình.

 

Phương pháp giải:

Chọn trục Ox vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với Ox lần lượt tại x=0x=4

Diện tích mặt nước ở chiều cao xS(x)=(2+x24)2=2+x24

Dung tích của bình là V=40S(x)dx

Lời giải chi tiết:

Chọn trục Ox vuông góc với mặt đáy của bình sao cho đáy nhỏ, đáy to của bình vuông góc với Ox lần lượt tại x=0x=4

Diện tích mặt nước ở chiều cao xS(x)=(2+x24)2=2+x24

Dung tích của bình là V=40S(x)dx=40(2+x24)dx=(2x+x312)|40=403

KP4

Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)=12x, trục hoành và đường thẳng x=4 (hình 12a). Quay hình D xung quanh trục Ox thì được một khối nón, kí hiệu là N. (hình 12b)

a) Cắt khối N bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0x4) thì mặt cắt là hình gì? Tính diện tích S(x) của mặt cắt đó.

b) Sử dụng công thức tính thể tích hình khối, tính thể tích của khối nón N.

Phương pháp giải:

a) Mặt cắt khi cắt khối nón N bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là hình tròn. Tính bán kính của hình tròn, từ đó tính được diện tích S(x) của mặt cắt đó.

b) Công thức tính thể tích của khối nón N có bán kính đáy r và chiều cao h: V=13πr2h.

Lời giải chi tiết:

a) Mặt cắt khi cắt khối nón N bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là hình tròn. Ta nhận thấy rằng khi cắt khối nón N bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x thì bán kính mặt cắt sẽ là 12x.

Do đó diện tích của mặt cắt là S(x)=π.(12x)2=π2x2.

b) Khối nón N có bán kính đáy r=2 và chiều cao h=4 nên thể tích của khối nón là: V=13π.22.4=16π3

TH6

Trả lời câu hỏi Thực hành 6 trang 26 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=1+1x, trục hoành và hai đường thẳng x=1, x=2 (hình 15). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Phương pháp giải:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox, với D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b, là: V=πbaf2(x)dx

Lời giải chi tiết:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox là:

V=π21(1+1x)2dx=π21(1+2x+1x2)dx=π(x+2ln|x|1x)|21=π(32+2ln2)

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 27 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Sử dụng tích phân, tính thể tích khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h. (hình 16)

Phương pháp giải:

Chọn trục OxOy như hình vẽ.

Khi quay hình phẳng D giới hạn bởi tam giác OAH quanh trục Ox, ta sẽ được một khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h.

Hình phẳng D được giới hạn bởi đường thẳng OA có phương trình y=f(x)=ax+b, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=h.

Thể tích của khối nón là V=πh0f2(x)dx

Lời giải chi tiết:

 

Chọn trục OxOy như hình vẽ.

Khi quay hình phẳng D giới hạn bởi tam giác OAH quanh trục Ox, ta sẽ được một khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h.

Hình phẳng D được giới hạn bởi đường thẳng OA có phương trình y=f(x)=ax+b, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=h.

Đường thẳng OA đi qua điểm O(0;0)A(h;r) nên phương trình đường thẳng OAy=rhx.

Thể tích khối nón là:

V=πh0(rhx)2dx=πr2h2h0x2dx=πr2h2.(x33)|h0=πr2h2.h33=πr2h3

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

close