Giải bài tập 5 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Khi cắt một vật thể hình chiếc nêm bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( { - 2 \le x \le 2} \right)$, mặt cắt là tam giác vuông có một góc ${45^o}$ và độ dài một cạnh góc vuông là $\sqrt {4 - {x^2}}$ (dm). Tính thể tích của vật thể.

 

Lời giải chi tiết

Vì mặt cắt là một tam giác vuông có một góc ${45^o}$, nên mặt cắt là tam giác vuông cân. Do đó diện tích mặt cắt là $S\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}}}{2} = \frac{{4 - {x^2}}}{2}$.

Thể tích vật thể là:

$V = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{4 - {x^2}}}{2}dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx}  = \frac{1}{2}\left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{16}}{3}$